排序【1】--PCA主成分分析

一、 背景问题

真实的训练数据总是存在各种各样的问题:

1、 比如拿到一个汽车的样本,里面既有以“千米/每小时”度量的最大速度特征,也有“英里/小时”的最大速度特征,显然这两个特征有一个多余。

2、 拿到一个数学系的本科生期末考试成绩单,里面有三列,一列是对数学的兴趣程度,一列是复习时间,还有一列是考试成绩。我们知道要学好数学,需要有浓厚的兴趣,所以第二项与第一项强相关,第三项和第二项也是强相关。那是不是可以合并第一项和第二项呢?

3、 拿到一个样本,特征非常多,而样例特别少,这样用回归去直接拟合非常困难,容易过度拟合。比如北京的房价:假设房子的特征是(大小、位置、朝向、是否学区房、建造年代、是否二手、层数、所在层数),搞了这么多特征,结果只有不到十个房子的样例。要拟合房子特征->房价的这么多特征,就会造成过度拟合。

4、 这个与第二个有点类似,假设在IR中我们建立的文档-词项矩阵中,有两个词项为“learn”和“study”,在传统的向量空间模型中,认为两者独立。然而从语义的角度来讲,两者是相似的,而且两者出现频率也类似,是不是可以合成为一个特征呢?

5、 在信号传输过程中,由于信道不是理想的,信道另一端收到的信号会有噪音扰动,那么怎么滤去这些噪音呢?

回顾我们之前介绍的《模型选择和规则化》,里面谈到的特征选择的问题。但在那篇中要剔除的特征主要是和类标签无关的特征。比如“学生的名字”就和他的“成绩”无关,使用的是互信息的方法。

而这里的特征很多是和类标签有关的,但里面存在噪声或者冗余。在这种情况下,需要一种特征降维的方法来减少特征数,减少噪音和冗余,减少过度拟合的可能性。说白了,就是一系列样品样品里面有很多个值,看其中哪个值在里面占主导地位,也就是主要的成分,当然这个值不是仅仅根据数值的大小,而是在不同样品中的变化度,在不同样品中变化越大,说明这个值就越能体现样品的不同,反之,如果所有样品中,某个变量变化不大,则可以排除这个变量在不同样品中的分量,所以在不同样品中变化越大的那个变量,我们就叫做主要的成分。

二、 PCA (principal component analysis)简介

下面探讨一种称作主成分分析(PCA)的方法来解决部分上述问题。PCA的思想是将n维特征映射到k维上(k),这k维是全新的正交特征。这k维特征称为主元,是重新构造出来的k维特征,而不是简单地从n维特征中去除其余n-k维特征。

主成分分析(或称主分量分析,principal component analysis)由皮尔逊(Pearson,1901)首先引入,后来被霍特林(Hotelling,1933)发展了。

主成分分析是一种通过降维技术把多个变量化为少数几个主成分(即综合变量)的统计分析方法。这些主成分能够反映原始变量的绝大部分信息,它们通常表示为原始变量的某种线性组合。

主成分分析的一般目的是:

  1. 变量的降维;
  2. 主成分的解释。

一种统计方法,它对多变量表示数据点集合寻找尽可能少的正交矢量表征数据信息特征。将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种多元统计分析方法。又称主分量分析。在实际课题中,为了全面分析问题,往往提出很多与此有关的变量(或因素),因为每个变量都在不同程度上反映这个课题的某些信息。主成分分析首先是由K.皮尔森对非随机变量引入的,尔后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形。信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。

基本思想

 主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性(比如P个指标),重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。主成分分析,是考察多个变量间相关性一种多元统计方法,研究如何通过少数几个主成分来揭示多个变量间的内部结构,即从原始变量中导出少数几个主成分,使它们尽可能多地保留原始变量的信息,且彼此间互不相关.通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合,作为新的综合指标。最经典的做法就是用F1(选取的第一个线性组合,即第一个综合指标)的方差来表达,即Var(F1)越大,表示F1包含的信息越多。因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的,故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息,再考虑选取F2即选第二个线性组合,为了有效地反映原来信息,F1已有的信息就不需要再出现在F2中,用数学语言表达就是要求Cov(F1, F2)=0,则称F2为第二主成分,依此类推可以构造出第三、第四,……,第P个主成分。

三、 PCA计算过程

首先介绍PCA的计算过程:

假设我们得到的2维数据如下:

行代表了样例,列代表特征,这里有10个样例,每个样例两个特征。可以这样认为,有10篇文档,x是10篇文档中“learn”出现的TF-IDF,y是10篇文档中“study”出现的TF-IDF。也可以认为有10辆汽车,x是千米/小时的速度,y是英里/小时的速度,等等。 (注意,这里是10个样本,每个样本都是包含两个变量,现在是看哪个变量对样本的影响更大)

第一步 分别求x和y的平均值,然后对于所有的样例,都减去对应的均值。

这里x的均值是1.81,y的均值是1.91,那么一个样例减去均值后即为(0.69,0.49),得到

第二步,求特征协方差矩阵

如果数据是3维,那么协方差矩阵是

方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。协方差(Covariance)在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差

cov(X,Y) = E((X-u)(Y-v))

其中E代表平均值,u,v分别是X,Y的平均值。

这里只有x和y,求解得

对角线上分别是x和y的方差,非对角线上是协方差。协方差大于0表示x和y若有一个增,另一个也增;小于0表示一个增,一个减;协方差为0时,两者独立。协方差绝对值越大,两者对彼此的影响越大,反之越小。

第三步,求协方差的特征值和特征向量

得到

上面是两个特征值,下面是对应的特征向量,特征值0.0490833989对应特征向量为(-735178656,0.677873399)T,这里的特征向量都归一化为单位向量。

从定义出发Ax=cx:A为矩阵,c为特征值,x为特征向量。在线性变换A的作用下,向量x仅仅在尺度上变为原来的 c倍。称 x 是线性变换A 的一个特征向量,c是对应的特征值。

第四步,将特征值按照从大到小的顺序排序,选择其中最大的k个,然后将其对应的k个特征向量分别作为列向量组成特征向量矩阵。

这里特征值只有两个,我们选择其中最大的那个,这里是1.28402771,对应的特征向量是(-0.677873399,-0.735178656)T.

第五步,将样本点投影到选取的特征向量上

假设样例数为m,特征数为n,减去均值后的样本矩阵为DataAdjust(m*n),协方差矩阵是n*n,选取的k个特征向量组成的矩阵为EigenVectors(n*k)。那么投影后的数据FinalData为

FinalData(m*k) = DataAdjust(m*n)×EigenVectors(n*k)

这里是

 FinalData(10*1) = DataAdjust(10*2矩阵)×特征向量(-0.677873399,-0.735178656)T

得到结果是

这样,就将原始样例的n维特征变成了k维,这k维就是原始特征在k维上的投影。

上面的数据可以认为是learn和study特征融合为一个新的特征叫做LS特征,该特征基本上代表了这两个特征。

上述过程有个图描述:

正号表示减去平均值后的样本点,斜着的两条线就分别是正交的特征向量(由于协方差矩阵是对称的,因此其特征向量正交),最后一步的矩阵乘法就是将原始样本点分别往特征向量对应的轴上做投影。

如果取的k=2,那么结果是

这就是经过PCA处理后的样本数据,水平轴(上面举例为LS特征)基本上可以代表全部样本点。整个过程看起来就像将坐标系做了旋转,当然二维可以图形化表示,高维就不行了。上面的如果k=1,那么只会留下这里的水平轴,轴上是所有点在该轴的投影。

这样PCA的过程基本结束。在第一步减均值之后,其实应该还有一步对特征做方差归一化。比如一个特征是汽车速度(0到100),一个是汽车的座位数(2到6),显然第二个的方差比第一个小。因此,如果样本特征中存在这种情况,那么在第一步之后,求每个特征的标准差clip_image016[6],然后对每个样例在该特征下的数据除以clip_image016[7]。

归纳一下,使用我们之前熟悉的表示方法,在求协方差之前的步骤是

其中X(i)是样例,共m个,每个样例n个特征,也就是说X(i) 是n维向量。Xj(i)是第i个样例的第j个特征。 u是样例均值。 是第oj个特征的标准差。 整个PCA过程貌似及其简单,就是求协方差的特征值和特征向量,然后做数据转换。但是有没有觉得很神奇,为什么求协方差的特征向量就是最理想的k维向量?其背后隐藏的意义是什么?整个PCA的意义是什么?

四. PCA理论基础

要解释为什么协方差矩阵的特征向量就是k维理想特征,我看到的有三个理论:分别是最大方差理论、最小错误理论和坐标轴相关度理论。这里简单探讨前两种,最后一种在讨论PCA意义时简单概述。3.1 最大方差理论

在信号处理中认为信号具有较大的方差,噪声有较小的方差,信噪比就是信号与噪声的方差比,越大越好。如前面的图,样本在横轴上的投影方差较大,在纵轴上的投影方差较小,那么认为纵轴上的投影是由噪声引起的。

因此我们认为,最好的k维特征是将n维样本点转换为k维后,每一维上的样本方差都很大。

比如下图有5个样本点:(已经做过预处理,均值为0,特征方差归一)

下面将样本投影到某一维上,这里用一条过原点的直线表示(前处理的过程实质是将原点移到样本点的中心点)。

假设我们选择两条不同的直线做投影,那么左右两条中哪个好呢?根据我们之前的方差最大化理论,左边的好,因为投影后的样本点之间方差最大。

这里先解释一下投影的概念:

红色点表示样例X(i),蓝色点表示X(i)

在u上的投影,u是直线的斜率也是直线的方向向量,而且是单位向量。蓝色点是X(i)

在u上的投影点,离原点的距离是X(i)Tu。由于这些样本点(样例)的每一维特征均值都为0,因此投影到

u上的样本点(只有一个到原点的距离值)的均值仍然是0。

回到上面左右图中的左图,我们要求的是最佳的u,使得投影后的样本点方差最大。

由于投影后均值为0,因此方差为:

旋转公式:

主成分的定义及导出

总方差中属于第i主成分yi (或被yi所解释)的比例为

λi/∑λi

称为主成分yi的贡献率。λ为特征值

第一主成分y1的贡献率最大,表明它解释原始变量x1,x2, ⋯,xp的能力最强,而y2,y3, ⋯,yp的解释能力依次递减。

主成分分析的目的就是为了减少变量的个数,因而一般是不会使用所有p个主成分的,忽略一些带有较小方差的主成分将不会给总方差带来大的影响

数学表达

五、R代码实现

六、讨论

6.1 注意事项

  1. 主成分分析,最好以相关系数矩阵为主
  2. 为使方差达到最大,通常主成分分析是不加以转轴
  3. 通常将特征值小于1的成分放弃,只保留大于1的成分
  4. 在实际研究里,若用3或5个成分,就能解释变异80%也行
  5. 使用主成分,会使各变量方差为最大,且成分间彼此独立

参考资料:

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