平均值、方差、标准差

之前一直不能理解 样本的标准差除以N-1,而整体的标准差是除以N。直到看到这篇博文,才恍然大悟。博文内容摘录如下:

对于一维数据的分析,最常见的就是计算平均值(Mean)、方差(Variance)和标准差(Standard Deviation)。

一、基本概念

1.平均值
平均值的概念很简单:所有数据之和除以数据点的个数,以此表示数据集的平均大小;其数学定义为:

以下面10个点的CPU使用率数据为例,其平均值为17.2。

2.方差、标准差
方差这一概念的目的是为了表示数据集中数据点的离散程度;其数学定义为:

标准差与方差一样,表示的也是数据点的离散程度;其在数学上定义为方差的平方根:

二、为什么使用标准差?

与方差相比,使用标准差来表示数据点的离散程度有3个好处:

  • 表示离散程度的数字与样本数据点的数量级一致,更适合对数据样本形成感性认知。依然以上述10个点的CPU使用率数据为例,其方差约为41,而标准差则为6.4;两者相比较,标准差更适合人理解。
  •  表示离散程度的数字单位与样本数据的单位一致,更方便做后续的分析运算。
  • 在样本数据大致符合正态分布的情况下,标准差具有方便估算的特性:66.7%的数据点落在平均值前后1个标准差的范围内、95%的数据点落在平均值前后2个标准差的范围内,而99%的数据点将会落在平均值前后3个标准差的范围内。

贝赛尔修正
在上面的方差公式和标准差公式中,存在一个值为N的分母,其作用为将计算得到的累积偏差进行平均,从而消除数据集大小对计算数据离散程度所产生的影响。不过,使用N所计算得到的方差及标准差只能用来表示该数据集本身(population)的离散程度;如果数据集是某个更大的研究对象的样本(sample),那么在计算该研究对象的离散程度时,就需要对上述方差公式和标准差公式进行贝塞尔修正,将N替换为N-1:
经过贝塞尔修正后的方差公式:
经过贝塞尔修正后的标准差公式:

三、公式的选择

是否使用贝塞尔修正,是由数据集的性质来决定的:如果只想计算数据集本身的离散程度(population),那么就使用未经修正的公式;如果数据集是一个样本(sample),而想要计算的则是样本所表达对象的离散程度,那么就使用贝塞尔修正后的公式。在特殊情况下,如果该数据集相较总体而言是一个极大的样本 (比如一分钟内采集了十万次的IO数据) — 在这种情况下,该样本数据集不可能错过任何的异常值(outlier),此时可以使用未经修正的公式来计算总体数据的离散程度。

四、R中平均值、方差与标准差的计算

在R中,平均值是通过mean()函数来计算的:

方差则通过var()函数来计算:

标准差则通过sd()函数来计算:

值得一提的是,R中所计算的方差和标准差是经过贝塞尔修正的;如果需要计算未经修正的结果,可以在R的计算结果上乘以(N-1)/N。

五、平均值与标准差的适用范围及误用

大多数统计学指标都有其适用范围,平均值、方差和标准差也不例外,其适用的数据集必须满足以下条件:
中部单峰:

  1. 数据集只存在一个峰值。很简单,以假想的CPU使用率数据为例,如果50%的数据点位于20附近,另外50%的数据点位于80附近(两个峰),那么计算得到的平均值约为50,而标准差约为31;这两个计算结果完全无法描述数据点的特征,反而具有误导性。
  2. 这个峰值必须大致位于数据集中部。还是以假想的CPU数据为例,如果80%的数据点位于20附近,剩下的20%数据随机分布于30~90之间,那么计算得到的平均值约为35,而标准差约为25;与之前一样,这两个计算结果不仅无法描述数据特征,反而会造成误导。
    遗憾的是,在现实生活中,很多数据分布并不满足上述两个条件;因此,在使用平均值、方差和标准差的时候,必须谨慎小心。

六.讨论

如果数据集仅仅满足一个条件:单峰。那么,峰值在哪里?峰的宽带是多少?峰两边的数据对称性如何?有没有异常值(outlier)?为了回答这些问题,除了平均值、方差和标准差,需要更合适的工具和分析指标,而这,就是中位数、均方根、百分位数和四分差的意义所在。

参考资料:
http://www.lifelaf.com/blog/?p=765

《平均值、方差、标准差》有1个想法

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