离散数学[5]-集合论-集合代数

一、关于无限

集合论概念

  •  集合论是以集合概念为基础,研究集合的一 般性质的数学分支学科。

    • “集合”是比“数”更简单的概念
    • 集合论试图从研究集合出发,定义“数”和数的“运算”, 进而发展到整个数学,是研究数学基础的学科
  • 集合是简单而又基本的不作定义的初始概念 一般来说,集合是一些确定的、相异的事物的总体

  • 按照集合中事物数目是否有限,可以分为有限集合和无限集合 无限集合是集合论研究的主要对象,也是集合论建 立的关键和难点

集合论与无限

  •  集合论的全部历史都是围绕无限概念 展开的 人们把康托尔(G.Cantor,1845-1918) 于1873年12月7日给戴德金(R.Dedekind, 1831-1916)的信中最早提出集合论思想 的那一天定为集合论诞生日。
  •  康托尔对无限集合的研究使集合论成 为数学中最富创造性的伟大成果之一 人们对于无限的研究可以追溯到两千 多年以前

芝诺(Zeno)悖论,公元前5世纪

  • 二分法悖论:一个物体从A地出发,永远不能到达B地 从A到B,必须经过A和B的中点,还有中点的中 点……,有限的时间内不能经过无限个点,所以A永 远不能到B
  • 阿基里斯追乌龟悖论    飞毛腿阿基里斯追不 上他前面的乌龟 当阿基里斯到达乌龟的出发点,乌龟已经向前走了 一段,阿基里斯再走过这一段的时候,乌龟又向前 走了一段,这样,两者永远保持一段距离,所以阿 基里斯怎么也追不上乌龟
  • 飞箭不动 飞箭在任何瞬间总是处在一个确定的位置,因此在此刻处在静止状态,无限个静止的总和还是静止, 所以飞箭总是静止的。
  • 芝诺悖论涉及到时间空间的连续性问题,以及无限集合
    • 自从芝诺悖论提出以来,人们一直试图指出其中的 错误所在,然而直到今天,仍然没有一个完全满意 的解答
  • 但芝诺悖论涉及的无限问题却使数学家和哲 学家关注了两千多年去试图解决
  • 古希腊数学家排除了无限概念,几何学里设 置了“整体大于部分”的公理

两种无限:进程和整体

  • 潜无限
    • 作为过程的无限,指永远延伸、永远完成不了的进程,如 自然数数列1,2,3,…,n,..
  • 实无限

    • 作为已完成的整体的无限,如自然数全体组成的整体 {1,2,3,…,n,…}
  • 亚 里 士 多 德 (Aristotle,B.C.384-322) 最先 提出要区分潜无限和实无限并认为只存在潜无限,实无限即无限集合是不存在的,因 为无限多个事物不能构成一个固定的整体。

  • 由于无限集合不符合常识和经验,两千多年 来,数学家都和亚里士多德一样对无限集合 持否定态度

无限集合(实无限)的性质被陆续发现

  •  普罗克拉斯(Proclus,410-485)在研究直径 分圆的问题时发现直径数量和将圆分成部分 的数量有一一对应的关系

    • 由于直径的数量是无穷的,所以表明直径的数量集 合{1,2,3,…n,…}和圆被分成部分数量集合 {2,4,6,…2n,…}之间存在一一对应的关系
  •  两个大小不同的同心圆上面的点可以通过公共半径来一一对应

  • 伽利略(G.Galileo,1564-1642)也发现不等长线段上的点可以构成一一对应关系。

一一对应关系

  • 捷克数学家波尔察诺(B.Bolzano,1781- 1848)最先明确承认并坚决拥护无限集合的概

    • 将发现的一一对应关系称作等价关系 并用大量实例指出这种关系真实存在
    • 如实数集[0,5]和实数集[0,12]之间的点可以建立 一一对应关系:y=(125)x

康托尔对无限集合的贡献

  • 《所有实代数数集合的一个性质》,较全面阐述了无限集合思想
  • 康托尔以异于常识的思考定义了无限集合, 还区分了两种不同的无限集合:可数集和具有连续统的势的集合

和自然数构成一一对应关系的可数集

实数区间[0,1]构成一一对应的具有连续统的势的集

  •  康托尔进一步证明了一条直线上的点和整个 n维空间中的点具有一一对应的关系
  • 又引入了基数、序数、超限基数、超限序数 等概念,并规定了它们的运算

    • 基数(势)的引入描述了集合中元素数量的一种刻 画,并规定和区分了不同层次无限集合的基数
  • 集合论需要严格运用纯理性的论证,其结论 不是人的直观和常识所能够掌握的

  • 康托尔的朴素集合论成为整个数学的基础

公理化集合论

  •  为了在朴素集合论中消除悖论,人们想了各 种办法来限制“病态集合”的产生

    • 罗素的“类型论”,限制集合和元素之间的缠绕
  • 最成功的是采用希尔伯特公理化思想对朴素 集合论进行公理化

    • 将集合作为不作定义的基本概念,通过一系列公理 描述集合的性质,并避免产生悖论。
  • 公理化集合论产生发展以后,普遍认为它给数学提供了一个可靠的基础

关于无限的故事:希尔伯特旅馆

  • 一家具有无限间房间的旅馆
  •  某一天,已客满
  • 又来了一位客人,住下了 (1号搬到2号,2号搬到3n)
  •  又来了无限位客人,也住下了(所有n号房间的搬到2n号房间,n号房间空着)
  •  先前的无限位客人每人带来了无限位 朋友,还是都住下了……()

二、集合基本概念

什么是集合?

  •  集合(set):做为整体识别的、确定的、 互相区别的一些对象的总体。

    • 整体识别:不再分割
    • 确定:属于或者不属于整体
    • 互相区别:各异的对象
    • 集合的例子

      • 北京大学的全体学生:组成对象是学生
      • 全体自然数0,1,2,……:组成对象是各个自然数
      •  北京大学的全体学生 :组成对象是学生
      • 全体自然数0,1,2,…… :组成对象是各个自然数
      •  方程x2-2x+1=0的根 :组成对象是1(不是两个1)
      • 方程x2+x+1=0的根 :如果讨论复数,则组成对象是两个复数 如果讨论实数,则是一个没有任何组成对象的集合

集合的基本概念:成员

  • 组成集合的对象称为成员(member)或者元素(element)

    • 元素可以是任何具体或者抽象的事物
    • 元素也可以是集合
  • 集合的记号“{,}”

    • A={1,2,3}
    • S={1,{2,3},10}
    • N={ }
  • 元素和集合的隶属关系

    • 当对象a是集合A的成员时,称a属于A,记做“a∈A”
    • 当对象a不是集合A的成员时,称a不属于A,记做 “¬(a∈A)”或者“aA”

规定集合的方式:列举法、描述法、归纳法

  • 列举法:将所有元素列举 A={1,2,3} B={a1,a2,…,an}
  • 描述法:将集合中元素的特征用谓词 公式描述 A={x|P(x)}或者A={x:P(x)} 表示x∈A当且仅当P(x)
  •  归纳法 后面的章节专门说明 我们已经用归纳法定义了数理逻辑中命题公 式、个体项等

一些集合规定的例子

  •  {0,1}={x|x=0∨x=1}
  •  N={0,1,2,3,…}={x|x是自然数}
  • I+={1,2,3,…}={x|x是正整数}
  • Nn={0,1,2,…,n-1}={x|x∈N∧0≤x<n}
  •  前n个自然数集合的集合
  •  ={{0},{0,1},{0,1,2},…} ={x|x=Nn∧n∈I+}
  •  ={Nn|n∈I+}

集合的基本概念

  • 空集

    • 没有任何元素的特定集合称为空集,记做ø ø={}={x|x≠x}
  • 有限集(finitesets)

    • 空集和只含有限多个元素的集合称作有限集 否则,称作无限集(infinite sets)
  • 基数(cardinality) 有限集合中成员的个数称作集合的基数(无 限集合的基数定义更为复杂)

  • 集合A的基数记做|A|

集合论的三大基本原理

  • 外延公理、概括公理、正规公理:规定了集合概念的意义
  •  外延公理(extensionality axiom)

    •  两个集合A和B相等当且仅当它们具有相同的元素。
    •  A=B ↔ x(x∈A↔x∈B)
    • {0,1}={1,0}={x|x=0∨x=1}
    • 说明集合元素的无序性,以及集合表示形式的不唯一性

  • 概括公理(comprehension axiom)

    •  对于任意个体域U,任一谓词公式P都确定 一个以该域中的对象为元素的集合S。
    •  S={x|x∈U∧P(x)}
    •  规定了集合成员的确定性
    •  空集:P(x)为永假式
  • 正规公理(regularity axiom)

    • 不存在集合A1, A2, A3, … 使得:…∈A3∈A2∈A1
    • 直观来说就是集合的有限可分,个体域的元素是“基本粒子”
    • 正规公理确立了元素和集合的不同层次性, 集合不能是自己的成员
    • 排除了A={A}这样的“病态”集合

引发罗素悖论的抽象原理

  • 康托尔的朴素集合论中没有考虑个体域的概念

    〉 S={x|P(x)} 〉 罗素悖论:考虑

谓词Q(x)=xx,和集合B={x|Q(x)} 〉 要判定Q(B)的真值:

如果Q(B)为真,那么B∈B,但得到Q(B)假 如果Q(B)为假,那么BB,但得到Q(B)真

三、子集合

子集合

  • 集合A称作集合B的子集合,如果A的 每一个元素都是B的元素

    •  x(x∈A→x∈B),那么 A是B的子集,记做A⊆B
  • 集合的两个基本关系:隶属和包含

子集合的例子

  •  {a,b}{a,b,c,d}
  •  {a,b,c}  {a,b,c}
  •  a{a,b,c}不成立,只有a∈{a,b,c}
  •  {a,b}{{a,b},{c,d}}:false
  •  {a,b}∈{{a,b},{c,d}}:true
  •  有时候隶属和包含关系会同时成立 {1}和{1,{1}}之间的关系

子集合的性质

定理1:对于任意集合A和B,A=B当且仅当A⊆B且B⊆ A 特别的,对于任意集合A,有A⊆ A

证明:

A=B
∀x(x∈A↔x∈B)......外延公理
∀x((x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈A))
∀x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B→x∈A)
(A⊆B)∧(B⊆A)

定理2:设A,B,C为任意集合,若 (A⊆ B)∧(B⊆ C),则有A⊆ C

利用逻辑蕴涵式I6: (A→B)∧(B→C)╞A→C来证明

定理3:对于任意集合A,A⊆ U

因为x∈U是恒真的,所以∀x(x∈A→x∈U) 也是恒真的

定理4:对于任何集合A,ø⊆ A

因为x∈ø是恒假的,所以∀x(x∈ø→x∈A) 是恒真的

定理5:空集是唯一的

假设有两个空集ø1和ø2,
根据定理4,有ø1⊆ ø2,而且ø2⊆ ø1
再根据定理1, ø1=ø2

定理6:设A为一有限集合,|A|=n,那么A 的子集个数为 2n次幂

A的子集有: ø:Cn0=1个
只有包含A中1个元素的子集:Cn1个 只有包含A中2个元素的子集:Cn2个
......
包含A中所有元素的子集:A本身, Cnn=1个
总和: Cn0+Cn1+...+ Cnn=2n个
例:{1,2}的子集:ø,{1},{2},{1,2}

真子集(proper subset)

如果A⊆ B且A≠B,记做:A⊂B 空集ø是所有非空集合的真子集

判断题:

ø⊆ø
ø∈ø
ø⊆{ø}
ø∈{ø} 如果A∈B且B∈C,那么A∈C

四、集合运算

集合基本运算

集合运算指以集合作为运算对象,结果还是集合的运算

并运算:∪(union)
定义:A∪B={x|x∈A∨x∈B}
{1,2}∪{1,3,4}={1,2,3,4}

交运算:∩(intersection)
定义:A∩B={x|x∈A∧x∈B} {1,2}∩{2,3}={2}

差运算-(difference)
定义:A-B={x|x∈A∧x∉B}

{1,2,3}-{2,3,4}={1}

补运算~(complement)
定义:A~=U-A={x|x∉A}
{0,1,2,3,4}~={5,6,7,...}(U=N)

交和并运算性质

A∪A=A;A∩A=A
交换律:A∪B=B∪A;A∩B=B∩A
结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
A∪ø=A;A∪U=U;A∩ø=ø;A∩U=A
分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A

差和补运算性质

A-A=ø,A-ø=A,A-U=ø

A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
利用德摩根律得证
A~~=A,U~=ø,ø~=U
A∪A~=U,A∩A~=ø
(A∪B)~=A~∩B~,(A∩B)~=A~∪B~
A-B=A∩B~

集合运算和子集关系

A⊆A∪B
A∩B⊆A
A-B⊆A
A⊆ B  ⇔ A-B=ø⇔ A∪B=B⇔ A∩B=A
如果A⊆ B,则有B~⊆ A~

利用运算性质证明

对于任意集合A,B,如果有A∪B=U且 A∩B=ø,那么A=B~

证明1:按照A=B的定义

证明2:按照运算性质的等式

A =A∩U =A∩(B∪B~)

=(A∩B)∪(A∩B~) =ø∪(A∩B~)
=(B∩B~)∪(A∩B~)......分配律,提出B~
=(B∪A)∩B~ =U∩B~

幂集(power set)运算

对任意集合A,ρ(A)称作A的幂集,定义为:

ρ(A)={x|x⊆A}

A的所有子集作为元素构成的集合(族)

因为ø⊆ A,A⊆A;所以必有ø∈ρ(A), A∈ρ(A)

例:ρ({1,2})={ø,{1},{2},{1,2}}

幂集的基数:|ρ(A)|=2|A|

幂集的性质

设A,B为任意集合:
A⊆B当且仅当ρ(A)  ρ(B)
证明必要性:(A⊆ B)→(ρ(A)⊆ ρ(B))
设A⊆B,又设任意X∈ρ(A),有X⊆ A
因为A⊆B,所以X⊆B
有X∈ρ(B)
根据子集定义,ρ(A)⊆ ρ(B)

证明充分性:(ρ(A)⊆ ρ(B))→(A⊆B)

〉 设ρ(A)⊆ ρ(B),假设A⊆ B不成立
〉 则存在a∈A,但是a∉B
〉 也就是{a}∈ρ(A),但是{a}∉ ρ(B)
〉 这个与ρ(A)⊆ ρ(B)矛盾
〉 所以A⊆B得证

五、集合族及运算

集合族与标志集

  • 集合族(collections)

    • 如果集合C中的每个元素都是集合,称C为 集合族
  •  集合族的标志集(indexset)

    • 如果集合族C可以表示为某种下标的形式 C={Sd|d∈D}
    • 那么这些下标组成的集合称作集合族C的标志集
  • 标志集可以是自然数、某些连续符号

集合族和标志集例子

  •  C={{0},{0,1},{0,1,2},…}是集合族,但是没有标志集
  • 如果定义Nn={0,1,2,…,n-1},那么C就可以表示为{Nn|n∈I+},这样C的标志集就是 I+
  • 集 合 族 C={Sa,Sb,Sc}={Sd|d ∈ {a,b,c}} , 标志集就是{a,b,c}
  • A的幂集ρ(A)是一个集合族

集合族的运算

广义并:集合族中所有集合的并集

∪C={x|∃S(S∈C∧x∈S)}

广义交:集合族中所有集合的交集

∩C={x|∀s(S∈C→x∈S)}

如果C恰含两个集合A,B

则∪C=A∪B,∩C=A∩B

有标志集的表示方法:C={Ad|d∈D}

∪C=∪d∈DAd, ∩C= ∩d∈DAd

集合族运算例子

C={{0},{0,1},{0,1,2},...}

∪C=N
∩C={0}
C={{1},{1,2},{1,3,5}}

∪C={1,2,3,5}
∩C={1}

集合族运算性质

任意集合A和集合族C,有

A∩(∪C)=∪{A∩S:S∈C}
A∪(∩C)=∩{A∪S:S∈C}
A-(∩C)=∪{A-S:S∈C}
A-(∪C)=∩{A-S:S∈C}
(∪C)~=∩{S~:S∈C}
(∩C)~=∪{S~:S∈C}

证明:A-(∪C)= ∩{A-S:S∈C}

x∈A-(∪C)
<=>x∈A∧x∉ UC
<=>x∈A∧¬(∃S(S∈C∧x∈S))
<=>x∈A∧∀S(S∉ C∨x∉ S)
<=>∀S((x∈A∧S∉C)∨(x∈A∧x∉S))
<=>∀S((x∉A∨S∈C)→(x∈A-S))
<=>∀S(((x∉A)→(x∈A-S))∧((S∈C) →(x∈A-S)))

<=>∀S((S∈C)→(x∈A-S))
<=>x∈∩{A-S:S∈C}

幂集与集合族运算

证明:对任意集合A,∪ρ(A)=A

x∈∪ρ(A)
<=>∀S(S∈ρ(A) ∧x∈S)
<=>∀S(S⊆ A∧x∈S)
<=>∀S(x∈A)

<=>x∈A

六、归纳定义

集合的归纳定义

〉 集合定义的另两种方式:列举法、描述法
〉 归纳定义(inductivedefinition)

基础条款:规定某些元素为待定义集合成员,集合其它元素可以从基本元素出发逐步确定

归纳条款:规定由已确定的集合元素去进一步确定其它元素的规则

终极条款:规定待定义集合只含有基础条款和归纳条款所确定的成员

〉 基础条款和归纳条款称作“完备性条款”,必须保证毫无遗漏产生 集合中所有成员

终极条款又称“纯粹性条款”,保证集合中仅包含满足完备性条款 的那些对象

归纳定义例子:“圣诞节”

  •  基础条款   耶稣基督降生的那天是圣诞节
  • 归纳条款    如果某天是圣诞节,则这一天后的第365天 也是圣诞节(不考虑闰年)
  • 终极条款    除了上面两条所包括的日子,其它日子都不是圣诞节

归纳定义例子:偶数集合

  •  个体域U为自然数集,定义偶数集E
  •  基础条款:0∈E
  •  归纳条款:若x∈E,则x+2∈E
  •  终极条款:除了有限次使用上述条款 确定的元素以外,E中没有别的元素
  • 奇数集O的定义?

归纳定义例子:程序

  •  基础条款: v:=e是程序(其中v是变量,e是算术表达式)

  • 归纳条款: 若p1,p2是程序,则p1;p2也是程序 若p1,p2是程序,则if c then p1 else p2 end if也是程序(其中c是条件 表达式); 若p是程序,则while c do p end while也是程序;

  • 终极条款(略)

七、自然数定义

自然数定义

  • 数学中“数”是最基本的原始概念,在集合论创立之后,采用集合来定义自然数,使得数学建立在更为简单的概念“集合”基础之上
  •  在算术公理化系统中,皮亚诺(Peano)的5大公理刻画了自然数概念

    • P1:至少有一个对象是自然数,记做0;
    • P2:如果n是自然数,那么n必定恰有一个直接后继,记做n’
    • P3:0不是任何自然数的直接后继
    • P4:如果自然数m,n的直接后继m’,n’相同,那么m=n
    • P5:没有不满足上述条件的对象是自然数

利用集合定义自然数要考虑的几个问题

  •  找一个最简单的集合作为0
  •  找一种集合运算定义“直接后继”
  •  ∪? ∩?-?
  • 这种集合运算不可能得到0对应的那个集合

  •  可以通过集合关系反应自然数的顺序性质
  • ⊆、 ⊂

自然数集N的归纳定义

  •  基础条款:∅∈N
  • 归纳条款:如果x∈N,则x’=x∪{x} ∈N
  • 终极条款(略)
  • 自然数集的列举定义:

    •  {∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅, {∅}, {∅,{∅}}}, …}
    • 实际上有:1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2}
    • 0∈1∈2∈3…同时也有0∈3
    • 还有0⊆ 1⊆ 2⊆ 3…
    • 1⊆ 2,4⊆ 10,10⊆ 10体现了顺序关系,而 且子集关系具有传递性

如果我们用x’={x}∈N作直接后继会如何?

  •  {∅ ,{∅ },{{∅ }},{{{∅ }}},….}
  •  0∈1∈2∈3
  • 但是没有1∈3
  • 子集关系⊆ 在自然数之间也不成立

递归定义自然数的运算:+、×

  •  加法的定义:

    *  x+0=x
    
    *  x+y'=(x+y)' 〉 如: 3+2=(3+1)'=((3+0)')' =(3')'=4'=5
    
  •  乘法的定义

    •  x×0=0
    •  x×y’=(x×y)+x
    • 例子
    • 如:3×2=(3×1)+3 =((3×0)+3)+3
    • =(0+3)+3 =(0+2)‘+3 =((0+1)’)‘+3
    • =(((0+0)‘)’)‘+3 =((0’)‘)’+3 =3+3
    • =……
    • =6

八、归纳原理

归纳原理

  • 设集合A是归纳定义的集合
  • 要证明A中所有元素具有性质P,即: ∀x(x∈A→P(x)),可以进行如下的证明:

(归纳基础)针对归纳定义的基础条款,证 明基础条款中的所有元素均使P(x0)真

(归纳推理)证明归纳条款是“保持性质P 的”

即在假设归纳条款中已确定元素x使P(x)真 的前提下,证明用归纳条款中的操作g所生 成的g(x) 依然有性质P,即P(g(x))为真

证明:命题公式中左括号的数量等于右括号的数量

  • 命题公式,是由归纳定义所定义的集合
  • 设L[A],R[A]分别表示公式A的左括号数量和右括号的数量
  •  (归纳基础):对于命题变元(或常元)p,L[p]=R[p]=0
  •  (归纳推理):设L[A]=R[A],L[B]=R[B],那么:

L[(¬A)]=L[A]+1=R[A]+1=R[(¬A)] L[(A→B)]=L[A]+L[B]+1=R[A]+R[B]+1=R[(A→B)]

所以对于一切命题公式,左括号数量等于右括号数量

九、数学归纳法

数学归纳法

  • 既然自然数集合也是归纳定义的,对于自然数的一些性质,也可以通过归纳原理来证明,即我们通常用的“数学归纳法”
  • 第一数学归纳法

归纳基础:证明P(0)为真

归纳过程:对于任意k≥0假设P(k)为真时, 推出P(k+1)也为真

结论:所有自然数n都使P(n)为真

数学归纳法例子

证明对任意自然数有(0+1+2+…+n)2=03+13+23+…+n3 归纳基础:当n=0,02=03

归纳过程:

设当n=k时, (0+1+2+...+k)2=03+13+23+...+k3成立,
当n=k+1时, (0+1+2+...+k+(k+1))2
=03+13+23+...+k3+(k+1)2+2(0+1+2+...+k)(k+1)
=03+13+23+...+k3+(k+1)2+k(k+1)2
=03+13+23+...+k3+(k+1)3
归纳完成,命题得证※

数学归纳法的变种

  •  起始于任意自然数n0的数学归纳法 证明所有大于等于n0的自然数都具有性质P
  • 起始于多个自然数的数学归纳法

    • 归纳基础:证明P(0),P(1)真
    • 归纳过程:对于任意k≥0假设P(k)为真时, 推出P(k+2)也为真
    • 结论:所有自然数具有性质P
  • 允许有参变量的数学归纳法 对于二元谓词P(m,n),证明对于一切自然 数m,n都为真,可以视情况只对一个变量进 行归纳,另一个变量作为参数

数学归纳法例子

证明:3分币和5分币可以组成8分以上任何币值

证明:8=3+5;9=3+3+3;10=5+5

假设k可以用3分和5分币组成, 需要证明k+3时命题真, 这是显然的,只要再加一个3分币即 可

数学归纳法的正确性证明

假设我们已经完成下面的推理:

归纳基础:P(0)真;
归纳推理:∀k(P(k)→P(k+1))
但是还并非所有自然数都有性质P
将这些不满足性质P的自然数构成一个非空自然数子集,这样,子集中必定有 一个最小的自然数,设为m
显然m>0,记做n+1,这样n一定具有性质P,即P(n)为真
∃n(P(n)∧¬P(n+1))╞╡ ¬∀k(¬P(k)∨P(k+1))╞╡¬∀k(P(k)→P(k+1))
假设推理结果与已经完成的归纳推理矛盾,所以假设错误
即数学归纳法成立,所有自然数都有性质P

参考资料

北京大学地球与空间科学学院 陈斌 https://www.coursera.org/learn/dmathgen/home/week/4

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