【2.6.1】向量相似性--余弦相似度(Cosine Similarity)

  • 几何中,夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异
  • 机器学习中,借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式:

$$ cosθ = \frac{ x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} }{\sqrt{ x_{1}^{2} +y_{1}^{2} }\sqrt{ x_{2}^{2} +y_{2}^{2} }}$$

两个n维样本点a(x1,x2,…,xn)和b(y1,y2,…,yn)的夹角余弦为:

$$ cos(θ) = \frac{a*b}{|a||b|} = \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}(x_{i} * y_{i})}{ \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^{n}(x_{i})^{2}} \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^{n}(y_{i})^{2} } }$$

夹角余弦取值范围为[-1,1]。余弦越大表示两个向量的夹角越小,余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时余弦取最大值1,当两个向量的方向完全相反余弦取最小值-1。

二、案例

2.1 余弦计算文本相似度

  • 句子A:这只皮靴号码大了。那只号码合适
  • 句子B:这只皮靴号码不小,那只更合适

怎样计算上面两句话的相似程度?

基本思路是:如果这两句话的用词越相似,它们的内容就应该越相似。因此,可以从词频入手,计算它们的相似程度。

第一步,分词。

  • 句子A:这只/皮靴/号码/大了。那只/号码/合适。
  • 句子B:这只/皮靴/号码/不/小,那只/更/合适。

第二步,列出所有的词。

这只,皮靴,号码,大了。那只,合适,不,小,很

第三步,计算词频。

  • 句子A:这只1,皮靴1,号码2,大了1。那只1,合适1,不0,小0,更0

  • 句子B:这只1,皮靴1,号码1,大了0。那只1,合适1,不1,小1,更1

第四步,写出词频向量。

  • 句子A:(1,1,2,1,1,1,0,0,0)
  • 句子B:(1,1,1,0,1,1,1,1,1)

到这里,问题就变成了如何计算这两个向量的相似程度。我们可以把它们想象成空间中的两条线段,都是从原点([0, 0, …])出发,指向不同的方向。两条线段之间形成一个夹角,如果夹角为0度,意味着方向相同、线段重合,这是表示两个向量代表的文本完全相等;如果夹角为90度,意味着形成直角,方向完全不相似;如果夹角为180度,意味着方向正好相反。因此,我们可以通过夹角的大小,来判断向量的相似程度。夹角越小,就代表越相似。

计算两个句子向量

  • 句子A:(1,1,2,1,1,1,0,0,0)
  • 和句子B:(1,1,1,0,1,1,1,1,1)

的向量余弦值来确定两个句子的相似度。

计算结果中夹角的余弦值为0.81非常接近于1,所以,上面的句子A和句子B是基本相似的

由此,我们就得到了文本相似度计算的处理流程是:

  1. 找出两篇文章的关键词;
  2. 每篇文章各取出若干个关键词,合并成一个集合,计算每篇文章对于这个集合中的词的词频
  3. 生成两篇文章各自的词频向量;
  4. 计算两个向量的余弦相似度,值越大就表示越相似。

参考资料

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