【3.1】克罗内克函数( Kronecker delta)

在数学中,Kronecker delta(以 Leopold Kronecker 命名)是两个变量的函数,通常只是非负整数。 如果变量相等,则函数为1,否则为0:

$$\delta _{{ij}}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}$$

其中Kronecker delta δij是变量i和j的分段函数。 例如,δ12 = 0,而δ33 = 1。

Kronecker delta 一般出现在数学,物理学和工程学的许多领域,作为紧凑地表达其定义的一种手段。

在线性代数中,n×n单位矩阵I具有等于Kronecker delta的条目:

$${\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}$$

其中i和j取值1,2,…,n,矢量的内积( inner product )可写为:

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}.}$$

对正整数的限制是常见的,但没有理由它不能有负整数和正整数,或任何离散的有理数。 如果上面的i和j采用有理数,那么例如

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{(-1)(-3)}&=0&\qquad \delta _{(-2)(-2)}&=1\\\delta _{\left({\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)}&=0&\qquad \delta _{\left({\frac {5}{3}}\right)\left({\frac {5}{3}}\right)}&=1.\end{aligned}}} $$

参考资料

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