【7.2】线性代数--向量组的线性相关、秩(最大无关组)

初步认知秩

“秩”在数学上是有严格定义的。从数学上去掌握“秩”的数学解析意义应该说不难。简单来说,“秩”就是组成矩阵的各向量之间的最大线性无关数。例如,有一个有5个向量组成的方阵,如果这5个向量中最多有3个向量互不相关,就说这个矩阵的秩为3;如果这5个向量中最多有4个向量互不相关,就说这个矩阵的秩为4;如果这5个向量中5个向量都互不相关,就说这个矩阵满秩。满秩,就是组成矩阵的所有向量都线性无关。当然,这里略去了行秩和列秩的区别。

先说解决数学本身的一个实用问题。要解一个方阵 组成的线性代数方程,如果矩阵 满秩,方程才有唯一解。即:线性代数方程组有唯一解的条件是:矩阵满秩。否则,方程就无解。

再说现代控制理论中的一个实用问题。线性系统有一个矩阵,叫能控性矩阵。如果这个矩阵是满秩的,系统的状态就完全能控制;如果不满秩,系统的状态就不完全能控制。

一、向量组的线性相关性

定义1:

设向量组A: $ α_{1},α_{2},...α_{m} $,及一组实数 $k_{1},k_{2},...k_{m} $,表达式 $k_{1}α_{1} + k_{2}α_{2} + ... + k_{m}α_{m} $称为向量组A的一个线性组合,$ k_{1},k_{2},...,k_{m} $称为线性组合的系数。

定义2

设向量组A: $ α_{1},α_{2},...α_{m} $ 和向量b,若存在一组实数 $ λ_{1},λ_{2},...λ_{m} $,使得 $ $ b = λ_{1}α_{1} + λ_{2}α_{2} + ...+ λ_{m}α_{m} $,则称向量b是向量组A的一个线性组合,或称向量b能由向量组A线性表示。

定义3

设向量组A: $ α_{1},α_{2},...α_{m} $及B:$ β_{1},β_{2},...β_{m} $,若B组中的每一个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示。

若向量组A与向量组B能互相线性表示,则称向量组A与向量组B等价,记为 (A) ~ (B)

定义4

向量组的等价具有性质:

  1. 反身性 (A) ~ (A)
  2. 对称性 若(A)~ (B) ,则 (B)~ (A)
  3. 传递性 若(A)~ (B) ,(B)~ ©,则 (A)~ ©

特殊向量组合

例一

任意一个n维向量 α = $ α_{1},α_{2},...α_{n} $都能由n维单位坐标向量组 $ ε_{1} = (1,0,..,0)$$ ε_{2} = (0,1,..,0)$,…,$ ε_{n} = (0,0,..,1)$线性表示,即$ α = α_{1}ε_{1} + α_{2}ε_{2} + ... + α_{n}ε_{n} $

例二

零向量可由任何同维的向量组线性表出

$ 0 = 0α_{1}+ 0α_{2} + ...0α_{n} $

例三

向量组$ α_{1},α_{2},...α_{n} $中任一向量都可由这个向量组线性表示

$ α_{i} = 0α_{1}+... + 0α_{i-1} +1α_{i}+ ...0α_{n} $

例四

将向量$ β = (1,0,-4)^{T}$ 用向量组 $ α_{1} = (0,1,1)^{T}$$ α_{2} = (1,0,1)^{T}$$ α_{3} = (1,1,0)^{T}$线性标出。

解: 设$ x_{1}α_{1} + x_{2}α_{2} + x_{3}α_{3} = β $,即 $$ \begin{equation} f_X(x) = \left \{ \begin{array}{lr} 0x_{1} + 1x_{2} + 1x_{3} = 1 , \\ 1x_{1} + 0x_{2} + 1x_{3} = 0 , \\ 1x_{1} + 1x_{2} + 0x_{3} = -4 \end{array} \right. \end{equation} $$

解得 $ x_{1} = -\frac{5}{2} , x_{2} = -\frac{3}{2}, x_{3} = -\frac{5}{2} , $

所以 $ β = -\frac{5}{2}x_{1} -\frac{3}{2}x_{2} -\frac{5}{2}x_{3} $

例五

$ a_{1} = \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray} $

$ a_{2} = \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$

$ a_{3} = \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$

$ b = \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ -3 \end{bmatrix} \end{eqnarray} $ 则b能由 a1,a2,a3线性表示。 解方程组 x1a1 + x2a2 +x3a3 =b

解方程组

$$ \begin{equation} f_X(x) = \left \{ \begin{array}{lr} -2x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 , \\ x_{1} - 2x_{2} + x_{3} = 3 , \\ x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -3 \end{array} \right. \end{equation} $$

$ \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} \end{eqnarray} $

所以,b= -a1 - 2a2

线性相关性定理

定理1:

向量b可由向量组 $ α_{1},α_{2},...α_{m} $ 线性表示 <=> Ax =b有解,其中A = $ α_{1},α_{2},...α_{m} $ <=> R(A) = R(A,b)

定理2

设向量组B:$ β_{1},β_{2},...β_{l} $能由A: $ α_{1},α_{2},...α_{m} $线性表示 <=> AX = B有解,其中 A= $ α_{1},α_{2},...α_{m} $,B=$ β_{1},β_{2},...β_{l} $ <=> R(A) = R(A,B)

定理2‘

向量组$ β_{1},β_{2},...β_{l} $能由向量组 $ α_{1},α_{2},...α_{m} $线性表示的充要条件是 R( $ α_{1},α_{2},...α_{m} $) = R( $ α_{1},α_{2},...α_{m} $,$ β_{1},β_{2},...β_{l} $)

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https://jingyan.baidu.com/article/d2b1d102c3538f5c7e37d40c.html

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参考资料

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