【4.7.3.1】均方根差（RMSD）

一、基本概念

RMSD 是最常用、最经久不衰的蛋白结构度量，也最被诟病。它定义简单，就是两个结构对应原子坐标差值的均方根（公式1）。

定义分子的“惯性半径”（Rg，radius of gyration）如公式2，那么，RMSD 的公式可以由 Rg 表达（公式3）。这里注意，两个结构以最佳方式重叠后，质心应当重叠，因此可以不失一般性地令其质心在原点，在公式2中约去向量 rc。[4] 因为计算 RMSD 必须先将相比较的2个结构最大化地重叠，即找到一个刚体变换，令 RMSD 最小，所以 RMSD 的计算公式可以更数学化地写为公式4（考虑原子质量 mi）。

AlphaFold2 用的是 RMSD95，即只考虑95%的残基最大化的重叠（公式5），这样降低了一些灵活区域的影响。[1]

虽然 RMSD 计算简单，物理意义明了，但它有一些明显的缺点：

1. 计算强烈依赖于两个结构的重叠对齐算法；
2. 无法区分整体的结构拓扑；
3. 对结构的缺失部分不敏感；
4. 有链长依赖。

对2、3，通常，边角灵活区域的结构浮动所造成的 RMSD 差异，可能盖过整体结构的重叠。也就是说，即便2个结构整体相似（有相同的fold），其二者也会因为少部分灵活区域的不同而有较大的 RMSD。

对4，同样的 RMSD 值对较小的蛋白可能意味着巨大的结构差异，对较大的蛋白则可能代表微小的结构差异。这一点我们可以由公式4看出—— Rg 显然依赖于蛋白的大小。实际上， ~ N^0.39。[5]

为了回应 RMSD 的上述缺点，诸多 RMSD 变体被设计出来，我们介绍2个：rRMSD和Z-rRMSD。

2001年，Skolnick 与学生 Betancourt 设计出 relative-RMSD，即 rRMSD [4]，来消除链长依赖 —— 着眼点就是公式3。

考虑“对齐相关系数”（aligned correlation coefficient, ACC），定义一组随机结构的 ACC 的平均值为 C(N)（公式6）。在考察了1300个同源性低于30%的结构的连续残基片段后，作者获得了 C(N) 的一个估值（公式7）。—— 21年后的今天看，这个公式是这篇文章最有价值的成果，而不是它的 rRMSD。

公式7的两个特征幂指数 4.7 和 37 的单位是“残基”。

4.7 个残基大约对应 2.8 nm，与球蛋白的 Lp 值接近（persistence length）。Lp 是高聚分子的分子链灵活性的特征值。它表示一条高分子链上的两点，在相距一定距离后，其各自的取向彼此不相关（decorrelated）。设想一手拽住一根长绳抖动，绳上相距很近的位置的取向必然相互关联，换句话说，某一处的位置和运动速度，将在一定距离内，影响它后面部分的位置和运动；但是，当两点相距足够远，这种相关性就没有了。

37 个残基，作者认为，是其所考察的中等长度多肽链（片段）的相关长度。虽然有强行解释的味道，但从物理含义的角度理解公式依然很有意思。

有了C(N)，可以估计随机的两个多肽结构可能有的平均 RMSD（公式8），进而定义 rRMSD（公式9），这样就消除了链长依赖，改进了 RMSD 的缺点4。

一脉相承地，2004年，Skolnick 与学生张阳基于 rRMSD，设计了 Z-rRMSD（公式10，公式11），一种类 Z-score 的统计重要性（statistical significance）的度量。[5]

Z-rRMSD 从概率上判断2个结构（片段）是否相似，更重要地，是否基于已知所有结构”universally”相似。如果2个结构的 Z-rRMSD 打分很高，那么这2个结构很可能有相同的 fold。也就是说，Z-rRMSD 改进了RMSD 的缺点2、3。

”有相同的 fold“？这不是 TM-score 所擅长的吗？对。文献5就是提出 TM-score 的著名论文。Z-rRMSD 可以作为 TM-score 的替代。

三、工具

RMSD: Root Mean Square Deviation 是一种在分子模拟及预测中很常见的评价标准，通过Jacobi变换来的到一个大分子和目标分子的相似程度。常用来评价一个三维结构的预测结果是否足够准确.

有时我们需要计算两个（或更多）分子之间的RMSD，可以用来判断两个构象的接近程度。

好用的工具：

https://github.com/charnley/rmsd

用法：

pip install rmsd


import rmsd
import numpy as np
P = np.array([[-0.9835 ,  1.8109 , -0.0314 ],
       [ 0.1268 ,  1.8041 , -0.03242],
       [-1.4899 ,  3.2274 ,  0.18102],
       [-1.3504 ,  1.1535 ,  0.78475]])

Q = np.array([[-2.1217 ,  4.0933 ,  0.12713],
       [-1.0113 ,  4.0865 ,  0.12611],
       [-2.628  ,  5.5097 ,  0.33955],
       [-2.4885 ,  3.4358 ,  0.94328]])
print "RMSD before translation: ", rmsd.kabsch_rmsd(P, Q)
P -= rmsd.centroid(P)
Q -= rmsd.centroid(Q)
print "RMSD after translation: ", rmsd.kabsch_rmsd(P, Q)

参考资料

• https://github.com/charnley/rmsd
• https://mp.weixin.qq.com/s/6KGsazYa5MXtCTkwaogBjA
• [4] Betancourt & Skolnick, Universal similarity measure for comparing protein structures, Biopolymers (2001)
• [5] Zhang & Skolnick, Scoring function for automated assessment of protein structure template quality, Proteins (2004)