【2.6.1】向量相似性--余弦相似度（Cosine Similarity）
- 几何中，夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异
- 机器学习中，借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。
二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式：
$$ cosθ = \frac{ x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} }{\sqrt{ x_{1}^{2} +y_{1}^{2} }\sqrt{ x_{2}^{2} +y_{2}^{2} }}$$
两个n维样本点a(x1,x2,…,xn)和b(y1,y2,…,yn)的夹角余弦为：
$$ cos(θ) = \frac{a*b}{|a||b|} = \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}(x_{i} * y_{i})}{ \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^{n}(x_{i})^{2}} \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^{n}(y_{i})^{2} } }$$
夹角余弦取值范围为[-1,1]。余弦越大表示两个向量的夹角越小，余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时余弦取最大值1，当两个向量的方向完全相反余弦取最小值-1。
二、案例
2.1 余弦计算文本相似度
- 句子A：这只皮靴号码大了。那只号码合适
- 句子B：这只皮靴号码不小，那只更合适
怎样计算上面两句话的相似程度？
基本思路是：如果这两句话的用词越相似，它们的内容就应该越相似。因此，可以从词频入手，计算它们的相似程度。
第一步，分词。
- 句子A：这只/皮靴/号码/大了。那只/号码/合适。
- 句子B：这只/皮靴/号码/不/小，那只/更/合适。
第二步，列出所有的词。
这只，皮靴，号码，大了。那只，合适，不，小，很
第三步，计算词频。
-
句子A：这只1，皮靴1，号码2，大了1。那只1，合适1，不0，小0，更0
-
句子B：这只1，皮靴1，号码1，大了0。那只1，合适1，不1，小1，更1
第四步，写出词频向量。
- 句子A：(1，1，2，1，1，1，0，0，0)
- 句子B：(1，1，1，0，1，1，1，1，1)
到这里，问题就变成了如何计算这两个向量的相似程度。我们可以把它们想象成空间中的两条线段，都是从原点（[0, 0, …]）出发，指向不同的方向。两条线段之间形成一个夹角，如果夹角为0度，意味着方向相同、线段重合,这是表示两个向量代表的文本完全相等；如果夹角为90度，意味着形成直角，方向完全不相似；如果夹角为180度，意味着方向正好相反。因此，我们可以通过夹角的大小，来判断向量的相似程度。夹角越小，就代表越相似。
计算两个句子向量
- 句子A：(1，1，2，1，1，1，0，0，0)
- 和句子B：(1，1，1，0，1，1，1，1，1)
的向量余弦值来确定两个句子的相似度。
计算结果中夹角的余弦值为0.81非常接近于1，所以，上面的句子A和句子B是基本相似的
由此，我们就得到了文本相似度计算的处理流程是:
- 找出两篇文章的关键词；
- 每篇文章各取出若干个关键词，合并成一个集合，计算每篇文章对于这个集合中的词的词频
- 生成两篇文章各自的词频向量；
- 计算两个向量的余弦相似度，值越大就表示越相似。
三、讨论
欧氏距离和余弦相似度的区别
从上图可以看出距离度量衡量的是空间各点间的绝对距离，跟各个点所在的位置坐标（即个体特征维度的数值）直接相关；而余弦相似度衡量的是空间向量的夹角，更加的是体现在方向上的差异，而不是位置。如果保持A点的位置不变，B点朝原方向远离坐标轴原点，那么这个时候余弦相似度cosθ是保持不变的，因为夹角不变，而A、B两点的距离显然在发生改变，这就是欧氏距离和余弦相似度的不同之处。
吴军. 数学之美 系列 12 -余弦定理和新闻的分类.(一个比较好的栗子)
http://www.google.com.hk/ggblog/googlechinablog/2006/07/12_4010.html
参考资料
