11.玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布：
在物理学（特别是统计力学）中，麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布是以詹姆斯·克拉克斯·马克斯韦尔和路德维希·波兹曼命名的特定概率分布。
这是第一次定义，并且用于描述颗粒速度在理想化的气体，其中所述颗粒的固定容器内自由移动，而不会彼此互动，除了非常简短的碰撞，其中它们与彼此或与它们的热环境交换能量和动量。在该上下文中，术语“颗粒”仅指气态颗粒（原子或分子），并且假设颗粒系统已达到热力学平衡。[1] 这种粒子的能量遵循所谓的 麦克斯韦 - 玻尔兹曼统计通过将粒子能量与动能等同来推导出速度的统计分布。
在一个封闭的空间中，温度为T，里面只有两种能级 $ \large \varepsilon _{0},\varepsilon _1 $，粒子的总数为N，且两种能级对应的个数分别为：$ \large n_0,n_1 $,所以能级的粒子总和为$ \large n_0+n_1 = N$。那么N个粒子的不同状态组合数记为$\large w $,且$ \large w $为：
$ \large w =C_{N}^{n_0} = \frac{N!}{n_0!n_1!} $
通过组合数计算一下熵，熵是来源热力学的概念，熵是衡量物质的混乱程度的量，通常和物质的状态有关，我们知道当物质的能量越高时混乱程度也越高，能量越低时混乱程度也越低，这和我们的常识认知是一致的，下面给出熵的定义：
$ \large S = K_Blogw $
其中 $\large K_B $是玻尔兹曼常数，取log就是熵的来源。
把$ \large w $带进上式的：
$ \large S = K_Blogw = K_B[log(N!) - log(n_0!)-log(n_1!)] \large \left ( 1 \right ) $
现在我给空间增加少了的能量 $\large \varepsilon $，此时封闭的空间的低能级的粒子 $ \large \varepsilon _0 $ 就会越变到高能级 $ \large \varepsilon _1 $，也就是说会有少量的$ \large n_0 $变为 $ \large n_1 $即：
$ \large n_0\rightarrow n_0-\alpha ,n_1\rightarrow n_1+\alpha $，其中 $ \large \alpha $是变化的粒子数，由此我们从新计算熵为：
$ \large S' = K_Blogw = K_B[log(N!) - log((n_0-\alpha )!)-log((n_1+\alpha )!)] \large \left ( 2 \right ) $
$ \large \left ( 2 \right ) - \left ( 1 \right ) $得到：
$ \large \Delta S = K_Blog\left ( \frac{n_0(n_0-1)....(n_0-\alpha ))}{(n_1+\alpha )....(n_1+1)} \right ) \large \left ( 3 \right ) $
我们知道上式的分子和分母项是一样多的，同时在封闭的空间中 $ \large n_0,n_1 $ 是足够大的，α是很小的，因此可以把（1）化简为：
$ \large \Delta S = K_Blog(\frac{n_0}{n_1}) \large \left ( 4 \right ) $
然而从热力学角度，熵的变化量和温度以及加入的能量 $ \large \varepsilon $有关（参考维基百科），因此有如下的公式;
$ \large \Delta S = \frac{\varepsilon }{T} \large \left ( 5 \right ) $
联立和 $\large \left ( 4 \right ) $ 和 $\large \left ( 5 \right ) $ 两两式的到：
$ \large K_Blog(\frac{n_0}{n_1}) = \frac{\varepsilon }{T} $
化简得到为：
$ \frac{n_0}{n_1} = e^{\frac{\varepsilon }{K_BT} } \left ( 6 \right ) $
从上式我们看到，不同能级的比值和能量、温度T、玻尔兹曼常数都有关系，且上式等式右边的指数和我们的退火算法很像，同时上式就称为玻尔兹曼分布。
好，从上面我们推倒了玻尔兹曼分布的来历。他是来源于热力学，大家通过我讲的简单型的可以完全理解了，掌握这些东西就够用了，如果对此感兴趣的同学可以看看完整版的玻尔兹曼分布，那里比这里稍微复杂一点，但是有这里的基础，看完整版的就会很容易了，好了，玻尔兹曼分布到此结束。
参考资料
