6.泊松分布

一、什么时候用泊松分布？

在遇到独立事件时（例如机器在给定区间内发生故障），若已知λ（即给定时间区间内的事件平均发生次数）且你感兴趣的是一个特定时间区间内的发生次数，这时可以用泊松分布。

Poisson分布是一种离散型分布，用于描述单位时间、空间、面积等的罕见事件发生次数的概率分布。如:

• 每毫升水中的大肠杆菌数、
• 单位时间(如1分钟)内放射性质点数、
• 每1000个新生儿中某出生缺陷、多胞胎、染色体异常等事件出 现的例数、

Poisson分布要求观察结果相互独立，发生的概率p不变。

如，人群中传染性疾病首例出现后便成为传染源，会增加后续病例出现的概率，因此病例数的分布不能看作是Poisson 分布;又如，污染的牛奶中细菌成集落存在，单位容量牛奶中细 菌数不能认为服从Poisson分布。

二、泊松分布

案例：爆米花，发生损坏的平均次数是每周3.4次，下一周不发生损坏的概率是多少，发生3次损坏的概率是多少？

泊松分布包括以下条件：

1. 单独事件在给定区间内随机、独立地发生，给定区间可以是时间或空间，例如可以是一个星期，也可以是一英里。
2. 已知该区间内的事件平均发生次数（或者叫做发生率），且为有限次数。该事件平均发生次数通常用希腊字母 λ（lambda ）表示。

我们用X表示给定区间内的事件发生次数，加入一个星期内的损坏次数。如果X符合泊松分布，且每个区间内平均发生 λ 次，或者说发生率为λ，则写作：

X ~ Po(λ)

在求给定区间发生r次世故的概率时，可以用如下公式进行计算：

P(X=r) = e^-λ * λ^r /r!

λ=np为Poisson分布的总体均数

r 为观察单位内某稀有事件的发生次数;

e 为自然对数的底，为常数，约等于2.71828

例如，如果X ~ Po(2)，则：

P(X=3) = e-2 * 2 ³/3! = 0.180

E(X) = λ Var(X) = λ

若随机变量X服从Poisson分布,Y=2X是否服从Poisson分布?

• 若服从Poisson分布的随机变量可能取值为0，1，2，…;但Y的 可能取值为0，2，4，…，与Poisson分布随机变量的可能取值不符。
• 若X的总体均数和方差为μ，则Y的总体均数为2μ，总体方差为4μ， 总体均数≠总体方差。

泊松分布是何形状？

泊松分布的形状是随着λ的数值发生变化。λ小，则分布向右偏斜，随着λ变大，分布逐渐变得对称。 如果λ是一个整数，则有两个众数，λ 和 λ-1，如果λ不是整数，则众数为λ

如果对独立事件进行组合？

如果X ~ Po(λx) 且 Y ~ Po(λy),则： X + Y ~ Po(λx + λy)

泊松分布、二项分布、正态分布有何关系？

X ~ B(n,p)，当n较大而p较小事，X则可以近似表示为：

X ~ Po(np)

当实验次数n趋向于无穷，试验成功的概率p趋向于0，且满足np=λ时，泊松分布可由二项分布的极限得到。

当 λ>20时，Poisson分布可视为近似正态分布。

二项分布中np ≥5，且n（1-p）≥5，可近似于正态分布

三、泊松分布的应用

1、概率估计:

如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为8 ‰，那么 该地120名新生儿中有4人患先天性心脏病的概率有多大?

λ = np = 120 * 0.008 = 0.96

P(4)= e ^-1.96 * 0.96 ⁴/4! = 0.014

2.累计概率计算

某100cm2的培养皿中平均菌落数为6个。今用100cm2的培养皿进行培养，试估计每一个培养皿中菌落数小于3个的概率，大于1个的概率。

P(X<3) = P(X=0) +P(X=1) + P(X=02) = 0.062 P（X>1） =1- P(0)= 0.983

3.某放射性物质半小时内发出的脉冲数服从Poisson分布，平均为360个，试估计该放射性物质半小时内发出的脉冲数大于400个的概率。

P(X >400)= 1-P(X ≤ 400)≈ 1- f((400+0.5-360)/√360)=1-f(2.135)=0.0164

该放射性物质半小时内发出的脉冲数大于400个的概率为0.0164。

参考资料:

《深入浅出统计学》

梳理统计与数据分析（具体详见这本书）

中山大学课程 《医学统计学》方积乾

二项分布http://baike.baidu.com/view/79831.htm?fr=aladdin