【4.1】层次分析法AHP
一、简介
层次分析法是由美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty在70年代中期提出的。它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序。层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。
- 系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、测试分析并列）；
- 实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；
- 简洁性——计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。
如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。
为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：
- 分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；
- 注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。
局限性：
AHP从建立层次结构模型到构建两两比对判断矩阵，人的主观因素比较大，采用专家群体判断的办法是克服这一局限性的有效途径。然而，只要对系统分析及问题的因素了解的越透彻，越能得到合理的判断和正确的排序结果。
二、基本模型—单层次模型
2.2 思想：
整体判断 n个元素的两两比较。
定性判断 定量表示（通过标量）
通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重
2.3 计算步骤
- 构造两两比较判断矩阵
- 计算单一准则下元素的相对重要性（层 次单排序）
- 单层次判断矩阵A的一致性检验
i. 判断矩阵
标度（aij）的含义：Ai比Aj 时由决策者回答下列问题所得
判断矩阵中的元素具有下述性质
例：决策者认为Ai比Aj明显重要，则aij＝5
这样由决策者的定性判断转换为定量表示，这是AHP的特点之一。
ii. 层次单排序
计算判断矩阵A的最大特征根λmax和其对应的经归一化后的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T
AW=λmaxW
由此得到的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作为对应评价单元的权重向量。
λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法。
问题
为什么两两比较判断矩阵A的最大特征值的向量W= (w1, w2, …,wn) T
可以作为评价单元A1, A2, …,An的权重向量？
实际评价时，并不知道这权重向量
比较Ai与Aj重要性时，通过询问决策者只能得到近似的比值aij
aij～wi/wj
得到的判断矩阵是近似的判断矩阵A.
A ～A
精确判断矩阵 的最大特征值的向量
W= (w1, w2, …,wn) T
是完全精确的权重向量
近似判断矩阵A最大特征值的向量
W= (w1, w2, …,wn) T
可以作为近似的权重向量
三、多层次分析法基本步骤
3.1 递阶层次结构
3.3 计算各元素的总权重
四、应用案例
某厂有一笔企业留成利润要决定如何使用，根据各方意见提出的决策方案有：发奖金；扩建集体福利设施；办技校；建图书馆；购买新设备。在决策时要考虑调动职工劳动积极性、提高职工技术文化水平、改善职工物质文化生活三方面，据此构造各因素之间相互联结的层次结构模型如下图所示。
4.1 层次结构图
4.2 计算单一准则下元素的相对重要性
（3）计算各元素的总权重
（4）结论
发奖金，福利设施，办技校，建图书馆，新设备
W=(0.157, 0.164, 0.393, 0.113, 0.172)
C.I.=0.028
R.I.=0.923
CR=0.03<0.10
计算结果表明，对于合理使用企业留成利润来说，办技校是首选的方案。
五．问题提出
中国女排在2007年一系列热身赛中成绩不佳，透露出这么一个重要信息：我们应该怎样科学地选拔上场队员。
是否应该认真的反思一下历年来选拔队员的程序和方法，它们是否是在科学原则的指导下进行的。从管理的角度来看，选择上场队员的问题实质是一个综合评估问题。科学评估有三要素：评估者、评估指标体系和评估方法。实际上队员选拔问题也应该按照这三个准则进行：一是确定科学的确定评估者（教练组），二是要建立一套合理的评价指标体系，三是选用科学有效的评估方法进行。
模拟算例
基于本届奥运会的教训和实际情况，我们通过一个模拟的算例，来看如何运用此方法进行队员选拔。确定本届奥运会1-2名留队的副攻队员。
评估对象：我们选择四位现役国家队副攻队员，薛明、赵蕊蕊、徐云丽、马蕴雯。
模拟评估小组――研究生球迷小组。
评价指标――讨论提出下列四个指标：身体条件、大赛经验力、训练水平、场上作风。
具体评价模型和评价过程如下：
1.构造各因素之间的层次结构模型
2.构造第二层相对于第一层的判断矩阵
3.层次单排序和一致性检验
4.构造第三层相对第二层的各个指标的判断矩
略
5.第三层相对于第一层的权重
6.层次总排序和一致性检验
通过计算，可得如下结果：
A-C层次上的权值：(丽丽,蕊蕊,明明,雯雯)
特征向量 W = (0.104,0.448,0.249,0.199)
对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I. 和C.R.
C.I. = 0.038 C.R. = 0.042
C.R. < 0.1，通过一致性检验
计算结果表明，四位队员的综合评估顺序为：赵蕊蕊、薛明、徐云丽、马蕴雯。
赵蕊蕊身体条件最好，马蕴雯的训练水平最高。
若有多位评估者，每一位都如此打分，经过计算得到综合评估值，多位评估排名靠前的应作为首要考虑的人选。
参考资料：
