【7.1】线性代数--矩阵运算--乘法

一、矩阵与数乘

数 λ 与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为

$$ λA = Aλ = \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} λa_{11} & λa_{12} &... &λa_{1n} \\ λa_{21} & λa_{22}& ...& λa_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ λa_{m1} & λa_{m2}& ...& λa_{mn} \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $$

数乘矩阵满足的运算规律：

设A,B为m*n矩阵， λ，μ为数

1. (λμ)A = λ(μ)A
2. (λ+μ)A = λA+μA
3. λ(A+B) = λA+μB
4. 1A = A1 = A

矩阵相加与数乘矩阵运算合起来，又称为矩阵的线性运算。

数与矩阵乘即将每一项都乘以系数，如下例：

$$ \begin{eqnarray} 3\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3*1 & 3*2 & 3*3 \\ 3*1 & 3*0 & 3*(-1) \\ 3*0 & 3*1 & 3*1 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 3 & 0 & -3 \\ 0 & 3 & 3 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $$

二、矩阵相乘

矩阵相乘，必须满足矩阵A的列数和矩阵B的函数相等，或者矩阵A的行数与矩阵B的列数相等。

设 A= $(a_{ij})$是一个ms矩阵，B = $(b_{ij})$是一个sn矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C=$(c_{ij})$，其中$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... a_{is}b_{sj} = \sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj} (i=1,2,...m;j=1,2,..n) ，并把此乘积记作C=AB$

矩阵相乘运算规则：

1. 结合律： (AB)C = A(BC)
2. 分配了：A(B+C) =AB +AC ; (B+C)A = BA+CA
3. λ(A+B) = (λA)B = A(λB)
4. AE = EA = A

矩阵相乘例子，如下：

例子：

$$ \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix} _{1*3}* \begin{bmatrix} 4\\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}_{3*1} = 1*4 + 2*5 +3*6 =32 \end{eqnarray} $$

例2：

$$ \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \\ \end{bmatrix}_{3*1} * \begin{bmatrix} 4 & 4 & 6 \\ \end{bmatrix} _{1*3} = \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6\\ 8 & 10 & 12\\ 12 & 15 & 18\\ \end{bmatrix}_{3*3} \end{eqnarray} $$

例3：

$$ \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2 \\ \end{bmatrix}_{2*2} * \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -3 & -6 \\ \end{bmatrix} _{2*2} = \begin{bmatrix} -16 & -32 \\ 8 & 16 \\ \end{bmatrix}_{2*2} \end{eqnarray} $$

例4：

$$ \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix}_{2*3} * \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & 3 \\ \end{bmatrix} _{3*4} = \begin{bmatrix} -1 & -4 & 2 & 11 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix}_{2*4} \end{eqnarray} $$

例5：

$$ \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 & & \\ & 2 & \\ & & 3 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $$

例6：

$$ \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & & \\ & 2 & \\ & & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $$

例7：

$$ \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} a_{1} & & & \\ & a_{1} & & \\ & & ... & \\ & & & a_{n}\\ \end{bmatrix}_{n*n} * \begin{bmatrix} b_{1} & & & \\ & b_{1} & & \\ & & ... & \\ & & & b_{n}\\ \end{bmatrix}_{n*n} = \begin{bmatrix} a_{1}b_{1} & & & \\ & a_{2}b_{2} & & \\ & & ... & \\ & & & a_{n}b_{n}\\ \end{bmatrix}_{n*n} \end{eqnarray} $$

三、矩阵相乘注意要点

1.矩阵相乘不满足交换定律

设 $ A= \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $

$ B= \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $

$$ AB= \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $$

$$ BA= \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -2 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $$

所以 AB ≠ BA

2.矩阵乘法不满足消去律

设 $ A= \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $

$ B= \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $

$ C= \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $

$$ AB= \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $$

$$ AC= \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $$

所以 AB =AC , A ≠ 0 ,但B ≠ C

参考资料

https://jingyan.baidu.com/article/4ae03de3d2b8c13eff9e6b1e.html