【4.2】线性回归

一、线性回归描述

• 父亲身高与儿子身高存在相关(相关关系)
• 可否通过父亲身高预测儿子的身高?
• 新生儿的体重与体表面积存在相关
• 可否通过体重预测体表面积?(依存关系)

例11-­1 为研究大气污染物一氧化氮(NO)的浓度是否受到汽车流量、 气候状况等因素的影响，选择24个工业水平相近的城市的一个交通点， 统计单位时间过往的汽车数(千辆)、同时在低空的相同高度测定了 该时间段平均气温(°C)、空气湿度(%)、风速(m/s)以及空气 中一氧化氮(NO)的浓度(ppm)，数据如表11­1所示。

研究目的

• 通过探讨与一氧化氮(NO)浓度相关的影响因素，为控 制空气污染提供依据。
• 研究一个变量的变化(如空气中NO浓度)受到另外一个 或一些变量(如车流量)变化的制约。这些问题在统计 学中采用线性回归模型(linear regression model)来进 行分析。
• 回归分析中，若Y 随X1，X2,…，Xm的改变而改变，则称Y为反 应变量(response variable)，又称为因变量(dependent variable);
• X1，X2，…，Xm为解释变量(explanatory variable)，又称为 自变量(independent variable)，通常我们把自变量看作影响 因素(factors)。
• 简单线性回归(simple linear regression)
• 多重线性回归(multiple linear regression)
• X 可以是随机变量，也可以是人为选择的数值
• Y 是按某种规律变化的连续型随机变量

二、简单线性回归模型

以例11­1为例，只考虑NO浓度与车流量的关系，以NO 浓度为因变量，车流量为自变量，采用线性回归分析。 问题如下:

问题

1. NO浓度随车流量的增加而增加吗?
2. 是直线趋势还是曲线趋势?
3. 如何采用回归方程定量地描述车流量对大气中NO浓度的 影响?
4. 车流量每增加100辆，NO浓度平均会增加多少?
5. 车流量对NO浓度的影响有统计学意义吗?
6. 车流量对NO浓度的影响(贡献)有多大?
7. 如何由车流量预测大气中NO平均浓度?
8. 如何通过控制车流量达到控制空气中NO浓度的目的?

回归系数的含义

β 的统计学意义是 X 每增加(或减少)一个单 位，Y 平均改变β个单位(即 Y 的均数 µ _Y|X 改变β个单位)。 β 越大表示Y 随 X 增减变化的趋势越陡。

β的意义:

• β >0，表明Y 与X呈同向线性变化趋势;
• β <0，表明Y 与X呈反向线性变化趋势;
• β =0，表明Y 与X无线性回归关系，但并不 表明没有其它关系。

最小二乘估

1. 最小二乘估计(least square estimation，LSE)
2. 其想法是找一条直线，使得实测点至该直线的纵向距离 (即残差)的平方和最小，此平方和称为残差平方和， 记为SS_残差。残差平方和越小，该直线对散点趋势的代 表性越好。

$$SS_{残差} = \sum(Y - \bar Y)^{2} $$

a和b的计算：

$$ b = \frac{\sum (X- \bar X)(Y- \bar Y)}{\sum (X- \bar X)^{2}}$$ $$ a = \bar Y - b \bar X$$ $$ \hat {Y} = -0.1353 + 0.1584X$$

二、线性回归的假设检验

$$ \hat {Y} = -0.1353 + 0.1584X$$ 这样的回归方程有统计学意义么？

假设检验包括两个方面:

1. 回归模型是否成立(model test):方差分析
2. 总体回归系数是否为零(parameter test): t 检验。

回归模型的假设检验:

H0 :总体回归方程不成立或总体中自变量 X 对因变量Y 没有贡献 H1 :总体回归方程成立或总体中自变量 X 对因变量Y 有贡献 α=0.05

$$ F = \frac{SS_{回归}/v_{回归}}{SS_{残差}/v_{残差}} = \frac{MS_{回归}}{MS_{残差}}$$

对例 10­-1 的回归方程进行方差分析，结果如表 10­2 所示(假设检验步骤略)。

表10­2 简单线性回归模型方差分析表

由表 10­-2 首行末列可见，P<0.0001，按 α =0.05 水准， 可认为 NO 浓度与车流量之间的回归方程具有统计学 意义。

回归系数的假设检验:

H0 : β =0
H1 : β ≠0 
α =0.05

接上例，经计算得(假设检验步骤略): SY.X =0.0358，Sb=0.0246，|t|= √F=6.432，v = n-2=22

由统计量 t 得 P <0.0001，按 α =0.05水准，拒绝 H0 ，故可认为该回归系数具有统计学意义。

注意:对于服从双变量正态分布的同样一组资料，若 同时做了相关分析和回归分析，则相关系数的 t 检验与回归系数的t检验等价，且t_r =t_b

总体回归系数的区间估计:

b ± t_α/2,vS_b

0.1584±2.074×0.0246=(0.1074，0.2095)

车流量对NO浓度的影响有多大?

决定系数R² =SS_回归/SS_总

R² = SS_回归/SS_总 = 0.0530/0.0812 = 0.6527 = 65.27%

线性回归分析的前提条件:LINE

1. 线性(linear):反应变量与自变量的呈线性变化趋势。
2. 独立性(independence):任意两个观察值相互独立，一个个体的取值不受其他个体的影响。
3. 正态性(normal distribution):在给定值X时，Y 的取值服从正态分布
4. 等方差性(equal variance): 对应于不同的X 值，Y值的总体变异相同 。

三、简单线性回归的应用

3.1统计应用

个体的容许区间: 预测是回归分析的重要应用之一，医 学上常用在给定 X 值(预报因子)时，计算个体 Y 值的容 许区间。所谓个体 Y 值的容许区间是指总体中 X 为某定值 时，个体Y 值的波动范围。

当车流量为1300辆时， ˆY = -0.1353 + 0.1584 * 1.300=0.0707， 空气中一氧化氮95%容许区间为 0.0707±2.074 * 0.0358 * √(1+ 1/24 +(1.3-1.4035)²/2.1124)=(0.0000~0.1467) ppm

均数的置信区间: 当 X 为某定值和在给定置信度的情况 下，欲知 Y 的总体均数的分布如何?我们可以估计总体中当X为某定值X_i时，Y的总体均数 µ_Y|X 的 (1-α)置信区间。

当车流量为1300辆时,ˆY = -0.1353 + 0.1584 *1.300=0.0707

空气中一氧化氮平均值的95%置信区间为 0.0707 ± 2.074 * 0.0358 √（1/24 + (1.3 - 1.4035)²/2.1124） =(0.05465~0.08675)ppm

3.2统计控制

根据空气污染指数分级，当空气质量状况不超过II级时， 要求空气中氮氧化物含量不超过0.100ppm~0.150ppm。 该城市为降低空气中NO的含量，拟对车流量做适当控制

依据估计的回归方程

ˆY =-0.1353+0.1584X 和以上标准，分别计算得:

Y1 =0.100ppm 时，X1 =(Y1-a)/b=1.485(千辆)

Y2 =0.150ppm 时，X2 =(Y2 -a)/b=1.801(千辆)

该城市单位时间内车流量应控制在 1500 辆以内，超过此限可能导致轻度污染;当车流量大于 1800 辆时，可能导致空气中度污染。

3.3 结果报告

简单线性回归分析通常需要报告以下内容 :

1. 分析目的;
2. 拟合简单线性回归方程的估计方法;
3. 是否符合前提条件(LINE);
4. 参数估计结果;
5. 模型的拟合优度及其假设检验;
6. 对结果的专业解释。

参考资料

中山大学课程 《医学统计学》方积乾