【4.2.2】回归评价指标MSE、RMSE、MAE、R-Squared

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分类问题的评价指标是准确率，那么回归算法的评价指标就是MSE，RMSE，MAE、R-Squared。下面一一介绍

一、均方误差（MSE）

MSE （Mean Squared Error）叫做均方误差。看公式

这里的y是测试集上的。

用 真实值-预测值 然后平方之后求和平均。

猛着看一下这个公式是不是觉得眼熟，这不就是线性回归的损失函数嘛！！！ 对，在线性回归的时候我们的目的就是让这个损失函数最小。那么模型做出来了，我们把损失函数丢到测试集上去看看损失值不就好了嘛。简单直观暴力！

二、均方根误差（RMSE）

RMSE（Root Mean Squard Error）均方根误差。

这不就是MSE开个根号么。有意义么？其实实质是一样的。只不过用于数据更好的描述。 例如：要做房价预测，每平方是万元（真贵），我们预测结果也是万元。那么差值的平方单位应该是 千万级别的。那我们不太好描述自己做的模型效果。怎么说呢？我们的模型误差是 多少千万？。。。。。。于是干脆就开个根号就好了。我们误差的结果就跟我们数据是一个级别的可，在描述模型的时候就说，我们模型的误差是多少万元。

三、MAE

MAE(平均绝对误差)

四、决定系数 R^2 （R Squared）

有人说相关系数（correlation coefficient，r ）和决定系数（coefficient of determination，R 2 R^2R 2 ，读作R-Squared）都是评价两个变量相关性的指标，且相关系数的平方就是决定系数？这种说法对不对呢？请听下文分解！

4.1 协方差与相关系数

要说相关系数，我们先来聊聊协方差。协方差是计算两个随机变量X 和Y之间的相关性的指标，定义如下：

Cov(X,Y)=E[(X−EX)(Y−EY)]

但是协方差有一个确定：它的值会随着变量量纲的变化而变化（covariance is not scale invariant），所以，这才提出了相关系数的概念：

对于相关系数，我们需要注意：

  1. 相关系数是用于描述两个变量线性相关程度的，如果r>0，呈正相关；如果r=0，不相关；如果r<0，呈负相关。
  2. 如果我们将X − EX 和 Y−EY看成两个向量的话，那r 刚好表示的是这两个向量夹角的余弦值，这也就解释了为什么r 的值域是[-1, 1]。
  3. 相关系数对变量的平移和缩放（线性变换）保持不变（Correlation is invariant to scaling and shift，不知道中文该如何准确表达，?）。比如Corr(X,Y)=Corr(aX+b,Y)恒成立。

4.2 决定系数（R方）

下面来说决定系数，R方一般用在回归模型用用于评估预测值和实际值的符合程度，R方的定义如下：

决定系数（coefficient ofdetermination），有的教材上翻译为判定系数，也称为拟合优度。

决定系数反应了y的波动有多少百分比能被x的波动所描述，即表征依变数Y的变异中有多少百分比,可由控制的自变数X来解释.

表达式：R2=SSR/SST=1-SSE/SST

其中：SST=SSR+SSE，SST(total sum of squares)为总平方和，SSR(regression sum of squares)为回归平方和，SSE(error sum of squares) 为残差平方和。

注：（不同书命名不同）

  • 回归平方和：SSR(Sum of Squares forregression) = ESS (explained sum of squares)
  • 残差平方和：SSE（Sum of Squares for Error） = RSS(residual sum of squares)
  • 总离差平方和：SST(Sum of Squares fortotal) = TSS(total sum of squares)
  • SSE+SSR=SST RSS+ESS=TSS

意义：拟合优度越大，自变量对因变量的解释程度越高，自变量引起的变动占总变动的百分比高。观察点在回归直线附近越密集。 fi是预测值

取值范围：0-1.

4.3 举例

假设有10个点，如下图：

我们R来实现如何求线性方程和R2：

# 线性回归的方程
mylr = function(x,y){
  
  plot(x,y)
  
  x_mean = mean(x)
  y_mean = mean(y)
  xy_mean = mean(x*y)
  xx_mean = mean(x*x)
  yy_mean = mean(y*y)
  
  m = (x_mean*y_mean - xy_mean)/(x_mean^2 - xx_mean)
  b = y_mean - m*x_mean
  
  
  f = m*x+b# 线性回归方程
  
  lines(x,f)
  
  sst = sum((y-y_mean)^2)
  sse = sum((y-f)^2)
  ssr = sum((f-y_mean)^2)
  
  result = c(m,b,sst,sse,ssr)
  names(result) = c('m','b','sst','sse','ssr')
  
  return(result)
}

x = c(60,34,12,34,71,28,96,34,42,37)
y = c(301,169,47,178,365,126,491,157,202,184)

f = mylr(x,y)

f['m']
f['b']
f['sse']+f['ssr']
f['sst']

R2 = f['ssr']/f['sst']

最后方程为：f(x)=5.3x-15.5

R2为99.8，说明x对y的解释程度非常高。

五、代码

MSE

y_preditc=reg.predict(x_test) #reg是训练好的模型
mse_test=np.sum((y_preditc-y_test)**2)/len(y_test) #跟数学公式一样的

RMSE

rmse_test=mse_test ** 0.5

MAE

mae_test=np.sum(np.absolute(y_preditc-y_test))/len(y_test)

R Squared

1- mean_squared_error(y_test,y_preditc)/ np.var(y_test)

scikit-learn中的各种衡量指标

from sklearn.metrics import mean_squared_error #均方误差
from sklearn.metrics import mean_absolute_error #平方绝对误差
from sklearn.metrics import r2_score#R square
#调用
mean_squared_error(y_test,y_predict)
mean_absolute_error(y_test,y_predict)
r2_score(y_test,y_predict)

参考资料

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