【3.2】矩阵操作（终结版）

May 12, 2015 R_Basic 阅读量：次

矩阵作为R的一种特殊数据类型，是一个包含行和列的二维的向量，元素类型必须相同。

一矩阵基本操作

1.1 创建向量

R里面有多种方法来创建向量（Vector），最简单的是用函数c()。例如：

>X=c(1,2,3,4)
>X
[1] 1 2 3 4

当然，还有别的方法。例如：

>X=1:4
>X
[1] 1 2 3 4

还有seq()函数。例如：

> X=seq(1,4,length=4)
> X
[1] 1 2 3 4

注意一点，R中的向量默认为列向量，如果要得到行向量需要对其进行转置。

1.2 创建矩阵

R中创建矩阵的方法也有很多。大致分为直接创建和由其它格式转换两种方法。

1.2.1直接创建矩阵

最简单的直接创建矩阵的方法是用matrix()函数，matrix()函数的使用方法如下：

> args(matrix)
function (data = NA, nrow = 1, ncol = 1, byrow = FALSE, dimnames = NULL)
NULL

其中，data参数输入的为矩阵的元素，不能为空；nrow参数输入的是矩阵的行数，默认为1；ncol参数输入的是矩阵的列数，默认为1；byrow参数控制矩阵元素的排列方式，TRUE表示按行排列，FALSE表示按列排列，默认为FALSE；dimnames参数输入矩阵的行名和列名，可以不输入，系统默认为NULL。例如：

> matrix(1:6,nrow=2,ncol=3,byrow=FALSE)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 3 5
[2,] 2 4 6

改变矩阵的行数和列数：

> matrix(1:6,nrow=3,ncol=2,byrow=FALSE)
 [,1] [,2]
[1,] 1 4
[2,] 2 5
[3,] 3 6

改变byrow参数：

> matrix(1:6,nrow=3,ncol=2,byrow=T)
 [,1] [,2]
[1,] 1 2
[2,] 3 4
[3,] 5 6

设定矩阵的行名和列名：

> matrix(1:6,nrow=3,ncol=2,byrow=T,dimnames=list(c("A","B","C"),c("boy","girl")))
 boy girl
A 1 2
B 3 4
C 5 6

1.2.2 由其它格式转换

##也可以由其它格式的数据转换为矩阵，此时需要用到函数as.matrix()。

1.3 查看和改变矩阵的维数

矩阵有两个维数，即行维数和列维数。在R中查看矩阵的行维数和列维数可以用函数dim()。

例如：

> X=matrix(1:12,ncol=3,nrow=4)
> X
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 9
[2,] 2 6 10
[3,] 3 7 11
[4,] 4 8 12
> dim(X)
[1] 4 3
只返回行维数：
> dim(X)[1]
[1] 4
也可以用函数nrow()
> nrow(X)
[1] 4
只返回列维数：
> dim(X)[2]
[1] 3
也可以用函数ncol():
> ncol(X)
[1] 3
同时，函数dim()也可以改变矩阵的维数。例如：
> dim(X)=c(2,6)
> X
 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 3 5 7 9 11
[2,] 2 4 6 8 10 12

1.4 矩阵行列的名称

查看矩阵的行名和列名分别用函数rownames()和函数colnames()。

例如：

> X=matrix(1:6,nrow=3,ncol=2,byrow=T,dimnames=list(c("A","B","C"),c("boy","girl")))
> X
 boy girl
A 1 2
B 3 4
C 5 6
查看矩阵的行名：
> rownames(X)
[1] "A" "B" "C"
查看矩阵的列名：
> colnames(X)
 [1] "boy" "girl"
同时也可以改变矩阵的行名和列名，比如：
> rownames(X)=c("E","F","G")
> X
 boy girl
E 1 2
F 3 4
G 5 6
> colnames(X)=c("man","woman")
> X
 man woman
E 1 2
F 3 4
G 5 6

1.5 矩阵元素的查看及其重新赋值

查看矩阵的某个特定元素，只需要知道该元素的行坐标和列坐标即可，例如：

> X=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
> X
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 9
[2,] 2 6 10
[3,] 3 7 11
[4,] 4 8 12
查看位于矩阵第二行、第三列的元素：
> X[2,3]
[1] 10
也可以重新对矩阵的元素进行赋值，将矩阵第二行、第三列的元素替换为0：
> X[2,3]=0
> X
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 9
[2,] 2 6 0
[3,] 3 7 11
[4,] 4 8 12
R中有一个diag()函数可以返回矩阵的全部对角元素：
> X=matrix(1:9,ncol=3,nrow=3)
> X
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 4 7
[2,] 2 5 8
[3,] 3 6 9
> diag(X)
[1] 1 5 9
当然也可以对对角元素进行重新赋值：
> diag(X)=c(0,0,1)
> X
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 0 4 7
[2,] 2 0 8
[3,] 3 6 1
当操作对象不是对称矩阵时，diag()也可以进行操作。
> X=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
> X
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 9
[2,] 2 6 10
[3,] 3 7 11
[4,] 4 8 12
> diag(X)
[1] 1 6 11
diag()函数还能用来生成对角矩阵：
> diag(c(1,2,3))
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 2 0
[3,] 0 0 3
也可以生成单位对角矩阵：
> diag(3)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1
> diag(4)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 0 0 0
[2,] 0 1 0 0
[3,] 0 0 1 0
[4,] 0 0 0 1
查看矩阵的上三角部分：在R中查看矩阵的上三角和下三角部分很简单。可以通过lower.tri()和upper.tir()来实现：
> args(lower.tri)
function (x, diag = FALSE)
NULL
> args(upper.tri)
function (x, diag = FALSE)
NULL
查看上三角：
> X=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
> X
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 9
[2,] 2 6 10
[3,] 3 7 11
[4,] 4 8 12
> X[lower.tri(X)]
[1] 2 3 4 7 8 12
改变赋值：
> X[lower.tri(X)]=0
> X
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 9
[2,] 0 6 10
[3,] 0 0 11
[4,] 0 0 0

二矩阵计算

2.1矩阵转置

R中矩阵的转置可以用 t() 函数完成，例如：

> X=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
> X
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 9
[2,] 2 6 10
[3,] 3 7 11
[4,] 4 8 12
> t(X)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 5 6 7 8
[3,] 9 10 11 12

2.2 矩阵的行和与列和及行平均值和列均值

在R中很容易计算一个矩阵的各行和和各列和以及各行的平均值和各列的平均值。例如：

> A=matrix(1:12,3,4)
> A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
> rowSums(A)
[1] 22 26 30
> rowMeans(A)
[1] 5.5 6.5 7.5
> colSums(A)
[1] 6 15 24 33
> colMeans(A)
[1] 2 5 8 11

2.3 行列式的值

R中的函数**det()**将计算方阵A的行列式。例如：

> X=matrix(rnorm(9),nrow=3,ncol=3)
> X
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.05810412 -1.2992698 0.5630315
[2,] -0.28070583 0.1958623 -1.8202283
[3,] 0.83691209 0.4411497 1.0014306
> **det(X)**
[1] 1.510076

2.4 矩阵相加减

矩阵元素的相加减是指维数相同的矩阵，处于同行和同列的位置的元素进行加减。实现这个功能用“＋”，“－”即可。例如：

> A=B=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
> A+B
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 8 14 20
[2,] 4 10 16 22
[3,] 6 12 18 24
> A-B
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0 0 0 0
[2,] 0 0 0 0
[3,] 0 0 0 0

2.5 矩阵的数乘

矩阵的数乘是指一个常数与一个矩阵相乘。设A为m×n矩阵，c≠0，在R中求cA的值，可以用符号“*”。例如：

> c=2
> A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
> A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
> c*A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 8 14 20
[2,] 4 10 16 22
[3,] 6 12 18 24
结果矩阵与原矩阵的所有相应元素都差一个常数c。

2.6矩阵相乘

2.6.1矩阵的乘法

A为m×n矩阵，B为n×k矩阵，在R中求AB，可以符号“%*%”。例如：

> A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
> B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
> A%*%B
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 70 158 246
[2,] 80 184 288
[3,] 90 210 330
注意BA无意义，因其不符合矩阵的相乘规则。
若A为n×m矩阵，B为n×k矩阵，在R中求A’B：
> A=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
> B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
> t(A)%*%B
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 30 70 110
[2,] 70 174 278
[3,] 110 278 446
也可以用函数crossprod()计算A’B：
> crossprod(A,B)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 30 70 110
[2,] 70 174 278
[3,] 110 278 446

2.6.2 矩阵的Kronecker积

n×m矩阵A和h×k矩阵B的Kronecker积是一个nh×mk维矩阵，公式为：

 a11B … a1nB
Am×n×Bh×k= … …
 am1B … amnB mh×nk
在R中Kronecker积可以用函数kronecher()来计算。例如：
> A=matrix(1:4,2,2)
> A
 [,1] [,2]
[1,] 1 3
[2,] 2 4
> B=matrix(rep(1,4),2,2)
> B
 [,1] [,2]
[1,] 1 1
[2,] 1 1
> kronecker(A,B)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 1 3 3
[2,] 1 1 3 3
[3,] 2 2 4 4
[4,] 2 2 4 4

2.7 矩阵的伴随矩阵

求矩阵A的伴随矩阵可以用LoopAnalyst包中的函数make.adjoint()函数。例如：

>install.packages("LoopAnalyst")
> A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
> A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
> make.adjoint(A)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -3 6 -3
[2,] 6 -12 6
[3,] -3 6 -3

2.8矩阵的逆和广义逆

2.8.1 矩阵的逆

矩阵A的逆A-1可以用函数solve()，例如：

> A=matrix(rnorm(9),nrow=3,ncol=3)
> A
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.2915845 0.2831544 0.94493154
[2,] -1.6494678 0.6999185 -0.06292334
[3,] -0.7224015 -0.3906971 0.44799963
> solve(A)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.2359821 -0.4050650 -0.5546321
[2,] 0.6405592 0.4507583 -1.2877720
[3,] 0.9391490 -0.2600663 0.2147417
验证AA-1=1：
> A%*%solve(A)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1.000000e+00 8.433738e-17 -1.341700e-18
[2,] 1.216339e-17 1.000000e+00 -4.667152e-17
[3,] -2.203641e-17 4.283954e-17 1.000000e+00

用round函数可以更好的得到结果：

> round(A%*%solve(A))
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1

solve()函数也可以用来求解方程组ax=b。

2.8.2矩阵的广义逆（Moore-Penrose）

并非所有的矩阵都有逆，但是所有的矩阵都可有广义逆。n×m矩阵A+是矩阵A的Moore-Penrose逆，如果它满足下列条件：

AA+A=A
A+AA+=A+
(AA+)T=AA+
(A+A)T=A+A

R中MASS包中的ginv()函数可以计算矩阵的Moore-Penrose逆。例如：

> library(MASS)
> A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
> A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
> solve(A)
Error in solve.default(A) : only square matrices can be inverted
> ginv(A)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.483333333 -0.03333333 0.41666667
[2,] -0.244444444 -0.01111111 0.22222222
[3,] -0.005555556 0.01111111 0.02777778
[4,] 0.233333333 0.03333333 -0.16666667
验证性质①：
> A%*%ginv(A)%*%A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
> A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
验证性质②：
>ginv(A)%*%A%*%ginv(A)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.483333333 -0.03333333 0.41666667
[2,] -0.244444444 -0.01111111 0.22222222
[3,] -0.005555556 0.01111111 0.02777778
[4,] 0.233333333 0.03333333 -0.16666667
> ginv(A)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.483333333 -0.03333333 0.41666667
[2,] -0.244444444 -0.01111111 0.22222222
[3,] -0.005555556 0.01111111 0.02777778
[4,] 0.233333333 0.03333333 -0.16666667
验证性质③：
> A%*%ginv(A)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.8333333 0.3333333 -0.1666667
[2,] 0.3333333 0.3333333 0.3333333
[3,] -0.1666667 0.3333333 0.8333333
> t(A%*%ginv(A))
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.8333333 0.3333333 -0.1666667
[2,] 0.3333333 0.3333333 0.3333333
[3,] -0.1666667 0.3333333 0.8333333
验证性质④：
> ginv(A)%*%A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.7 0.4 0.1 -0.2
[2,] 0.4 0.3 0.2 0.1
[3,] 0.1 0.2 0.3 0.4
[4,] -0.2 0.1 0.4 0.7
> t(ginv(A)%*%A)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.7 0.4 0.1 -0.2
[2,] 0.4 0.3 0.2 0.1
[3,] 0.1 0.2 0.3 0.4
[4,] -0.2 0.1 0.4 0.7
也可以不必如此麻烦来验证性质③和④，因为③和④只是表明AA+和A+A是对称矩阵。

2.8.3 X’X的逆

很多时候，我们需要计算形如X’X的逆。这很容易实现，例如：

> x=matrix(rnorm(9),ncol=3,nrow=3)
> x
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.1806586 -0.76340512 0.002652331
[2,] -1.8018584 0.04467943 1.416332187
[3,] 1.2785359 -1.31653513 0.180653002
> solve(crossprod(x))
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1.2181837 0.9664576 1.470940
[2,] 0.9664576 1.2010110 1.204599
[3,] 1.4709402 1.2045986 2.269921
R中的strucchange包中的函数solveCrossprod()也可完成：
> args(solveCrossprod)
function (X, method = c("qr", "chol", "solve"))
NULL
> solveCrossprod(x,method="qr")
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1.2181837 0.9664576 1.470940
[2,] 0.9664576 1.2010110 1.204599
[3,] 1.4709402 1.2045986 2.269921
> solveCrossprod(x,method="chol")
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1.2181837 0.9664576 1.470940
[2,] 0.9664576 1.2010110 1.204599
[3,] 1.4709402 1.2045986 2.269921
> solveCrossprod(x,method="solve")
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1.2181837 0.9664576 1.470940
[2,] 0.9664576 1.2010110 1.204599
[3,] 1.4709402 1.2045986 2.269921

2.9矩阵的特征值和特征向量

可以通过对矩阵A进行谱分解来得到矩阵的特征值和特征向量。矩阵A的谱分解如下：A=UΛU’，其中U的列为A的特征值所对应的特征向量，在R中可以用eigen()函数得到U和Λ。例如：

> args(eigen)
function (x, symmetric, only.values = FALSE, EISPACK = FALSE)
其中，x参数输入矩阵；symmetric参数判断矩阵是否为对称矩阵，如果参数为空，系统将自动检测矩阵的对称性。例如：
> A=matrix(1:9,nrow=3,ncol=3)
> A
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 4 7
[2,] 2 5 8
[3,] 3 6 9
> Aeigen=eigen(A)
> Aeigen
$values
[1] 1.611684e+01 -1.116844e+00 -4.054214e-16
$vectors
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.4645473 -0.8829060 0.4082483
[2,] -0.5707955 -0.2395204 -0.8164966
[3,] -0.6770438 0.4038651 0.4082483
得到矩阵A的特征值：
> Aeigen$values
[1] 1.611684e+01 -1.116844e+00 -4.054214e-16
得到矩阵A的特征向量：
> Aeigen$vectors
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.4645473 -0.8829060 0.4082483
[2,] -0.5707955 -0.2395204 -0.8164966
[3,] -0.6770438 0.4038651 0.4082483

三矩阵高级操作

3.1 Choleskey分解

对于正定矩阵A，可以对其进行Choleskey分解，A=P’P，其中P为上三角矩阵，在R中可以用函数chol()。例如：

> A=diag(3)+1
> A
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 2 1 1
[2,] 1 2 1
[3,] 1 1 2
> chol(A)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1.414214 0.7071068 0.7071068
[2,] 0.000000 1.2247449 0.4082483
[3,] 0.000000 0.0000000 1.1547005
验证A=P’P：
> t(chol(A))%*%chol(A)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 2 1 1
[2,] 1 2 1
[3,] 1 1 2
也可以用crossprod()函数：
> crossprod(chol(A),chol(A))
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 2 1 1
[2,] 1 2 1
[3,] 1 1 2
可以用Choleskey分解来计算矩阵的行列式：
> prod(diag(chol(A))^2)
[1] 4
> det(A)
[1] 4
也可以用Choleskey分解来计算矩阵的逆，这时候可以用到函数chol2inv():
> chol2inv(chol(A))
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.75 -0.25 -0.25
[2,] -0.25 0.75 -0.25
[3,] -0.25 -0.25 0.75
> solve(A)
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.75 -0.25 -0.25
[2,] -0.25 0.75 -0.25
[3,] -0.25 -0.25 0.75

3.2 奇异值分解

A为m×n矩阵，矩阵的秩为r。A可以分解为A=UDV’，其中U’U=V’V=I。在R中可以用函数svd()。例如：

> A=matrix(1:18,3,6)
> A
 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 4 7 10 13 16
[2,] 2 5 8 11 14 17
[3,] 3 6 9 12 15 18
> svd(A)
$d
[1] 4.589453e+01 1.640705e+00 2.294505e-15
$u
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.5290354 0.74394551 0.4082483
[2,] -0.5760715 0.03840487 -0.8164966
[3,] -0.6231077 -0.66713577 0.4082483
$v
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.07736219 -0.7196003 -0.67039144
[2,] -0.19033085 -0.5089325 0.55766549
[3,] -0.30329950 -0.2982646 0.28189237
[4,] -0.41626816 -0.0875968 0.07320847
[5,] -0.52923682 0.1230711 0.12920119
[6,] -0.64220548 0.3337389 -0.37157608
> A.u%*%diag(A.d)%*%t(A.v)
 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 4 7 10 13 16
[2,] 2 5 8 11 14 17
[3,] 3 6 9 12 15 18

3.3 QR分解

A为m×n矩阵可以进行QR分解:A=QR，其中Q’Q=I，在R中可以用函数qr()来完成这个过程，例如：

> A=matrix(1:12,4,3)
> qr(A)
$qr
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -5.4772256 -12.7801930 -2.008316e+01
[2,] 0.3651484 -3.2659863 -6.531973e+00
[3,] 0.5477226 -0.3781696 7.880925e-16
[4,] 0.7302967 -0.9124744 9.277920e-01
$rank
[1] 2
$qraux
[1] 1.182574 1.156135 1.373098
$pivot
[1] 1 2 3
attr(,"class")
[1] "qr"
Rank返回的是矩阵的秩。Qr项包含了Q矩阵和R矩阵的信息。要想得到Q矩阵和R矩阵，可以用qr.Q()函数和qr.R()函数：
> qr.Q(qr(A))
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.1825742 -8.164966e-01 -0.4000874
[2,] -0.3651484 -4.082483e-01 0.2546329
[3,] -0.5477226 4.938541e-17 0.6909965
[4,] -0.7302967 4.082483e-01 -0.5455419
> qr.R(qr(A))
 [,1] [,2] [,3]
[1,] -5.477226 -12.780193 -2.008316e+01
[2,] 0.000000 -3.265986 -6.531973e+00
[3,] 0.000000 0.000000 7.880925e-16

四解方程组

4.1 普通方程组

解普通方程组可以用函数solve()，solve()的基本用法是solve(A,b)，其中，A为方程组的系数矩阵，b为方程组的右端。例如：

已知方程组：

2x1+2x3=1
2x1+x2+2x3=2
2x1+x2=3
解法如下：
> A
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 2 0 2
[2,] 2 1 2
[3,] 2 1 0
> b=1:3
>b
[1] 1 2 3
> solve(A,b)
[1] 1.0 1.0 -0.5
即x1=1，x2=1，x3=-0.5。

4.2 特殊方程组

对于系数矩阵是上三角矩阵和下三角矩阵的方程组。R中提供了backsolve()和fowardsolve()来解决这个问题。

backsolve(r, x, k=ncol(r), upper.tri=TRUE, transpose=FALSE)
forwardsolve(l, x, k=ncol(l), upper.tri=FALSE, transpose=FALSE)

这两个函数都是符合操作的函数，大致可以分为三个步骤：

通过将系数矩阵的上三角或者下三角变为0的到新的系数矩阵,这通过upper.tri参数来实现，若upper.tri=TRUR,上三角不为0。
通过将对步骤1中得到的新系数矩阵进行转置得到新的系数矩阵，这通过transpose参数实现，若transpose=FALSE，则步骤1中得到的系数矩阵将被转置。
根据步骤2得到的系数矩阵来解方程组。

X1+4X2+7X3=1

2X1+5X2+8X3=2

3X1+6X2+9X3=3

方程组的系数矩阵为：

> A
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 4 7
[2,] 2 5 8
[3,] 3 6 9
> b
[1] 1 2 3
> backsolve(A,b,upper.tri=T,transpose=F)
[1] -0.8000000 -0.1333333 0.3333333

过程分解：

①upper.tri=T，说明系数矩阵的上三角不为0。

> B=A
> B[lower.tri(B)]=0
> B
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 4 7
[2,] 0 5 8
[3,] 0 0 9

②transpose=F说明系数矩阵未被转置。

③解方程：

> solve(B,b)
[1] -0.8000000 -0.1333333 0.3333333

五其它

5.1矩阵的向量化

将矩阵向量化有时候是必要的。矩阵的向量化可以通过as.vector()来实现：

> A
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
将矩阵元素向量化：
> as.vector(A)
 [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
将矩阵的方阵部分元素向量化：
> as.vector(A[1:min(dim(A)),1:min(dim(A))])
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5.2矩阵的合并

5.2.1矩阵的列合并

矩阵的列合并可以通过cbind()来实现。

> A
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 4 7
[2,] 2 5 8
[3,] 3 6 9
> B=1:3
> cbind(A,B)
 B
[1,] 1 4 7 1
[2,] 2 5 8 2
[3,] 3 6 9 3

5.2.2矩阵的行合并

矩阵的行合并可以通过rbind()来实现。

> A
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 4 7
[2,] 2 5 8
[3,] 3 6 9
> B=1:3
> rbind(A,B)
 [,1] [,2] [,3]
 1 4 7
 2 5 8
 3 6 9
B 1 2 3

5.3 时序矩阵的滞后

在时间序列中经常会用到一个序列的滞后序列，R中的包fMultivar中的函数tslag()提供了这个功能。

> library(fMultivar)
Loading required package: sn
Loading required package: mnormt
Package 'sn', 0.4-16 (2010-08-30). Type 'help(SN)' for summary information
Loading required package: timeDate
Loading required package: timeSeries
Loading required package: fBasics
Loading required package: MASS
Attaching package: 'fBasics'
The following object(s) are masked from 'package:base':
 norm
> args(tslag)
function (x, k = 1, trim = FALSE)
NULL
其中：x为一个向量，k指定滞后阶数，可以是一个自然数列，若trim为假，则返回序列与原序列长度相同，但含有NA值；若trim项为真，则返回序列中不含有NA值，例如：
> x=1:9
> x
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9
> tslag(x,1:4,trim=F)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
 [1,] NA NA NA NA
 [2,] 1 NA NA NA
 [3,] 2 1 NA NA
 [4,] 3 2 1 NA
 [5,] 4 3 2 1
 [6,] 5 4 3 2
 [7,] 6 5 4 3
 [8,] 7 6 5 4
 [9,] 8 7 6 5
> tslag(x,1:4,trim=T)
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 5 4 3 2
[3,] 6 5 4 3
[4,] 7 6 5 4
[5,] 8 7 6 5

参考资料：

http://blog.renren.com/share/159280283/14363739061

这里是一个广告位，，感兴趣的都可以发邮件聊聊：tiehan@sina.cn

个人公众号，比较懒，很少更新，可以在上面提问题，如果回复不及时，可发邮件给我： tiehan@sina.cn

一 矩阵基本操作